Если число a или число b кратно 3, то произведение ab(a + b)(a − b) будет делится на 3.
Рассмотрим варианты, если числа a и b не кратны 3:
1) Остатки от деления чисел a и b на 3 равны 2, тогда:
a = 3m + 2, b = 3n + 2:
a − b = 3m + 2 − 3n − 2 = 3m − 3n = 3(m − n)
Так как один из множителей число 3, значит выражение ab(a + b)(a − b) кратно 3.
2) Остатки от деления чисел a и b на 3 равны 1, тогда:
a = 3m + 1, b = 3n + 1:
a − b = 3m + 1 − 3n − 1 = 3m − 3n = 3(m − n)
Так как один из множителей число 3, значит выражение ab(a + b)(a − b) кратно 3.
3) Остатки от деления чисел a и b на 3 равны 1 и 2, тогда:
a = 3m + 1, b = 3n + 2:
a + b = 3m + 1 + 3n + 2 = 3m + 3m + 3 = 3(m + n + 1)
Так как один из множителей число 3, значит выражение ab(a + b)(a − b) кратно 3.
Во всех рассмотренных случаях выражение ab(a + b)(a − b) кратно 3, значит при любых целых значениях a и b произведение ab(a + b)(a − b) делится на 3.