Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:
а) $\frac{10^n - 1}{9}$;
б) $\frac{10^n + 8}{9}$;
в) $\frac{10^n - 4}{3}$.
$\frac{10^n - 1}{9}$
Значение дроби будет натуральным числом, если выражение $(10^n - 1)$ будет делится на 9 без остатка. Число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения $10^n$ будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения $(10^n - 1)$ будет состоять из n девяток. Число, состоящее из любого количества 9, делится на 9, значит выражение $10^n - 1$ делится на 9 без остатка.
$\frac{10^n + 8}{9}$
Значение дроби будет натуральным числом, если выражение $(10^n + 8)$ будет делится на 9 без остатка. Число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения $10^n$ будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения $(10^n + 8)$ будет состоять из единицы, (n − 1) нулей и восьмерки. Сумма цифр равна:
1 + 8 = 9, значит выражение $10^n + 8$ делится на 9 без остатка.
$\frac{10^n - 4}{3}$
Значение дроби будет натуральным числом, если выражение $(10^n - 4)$ будет делится на 3 без остатка. Число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Значение выражения $10^n$ будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения $(10^n)$ будет состоять из (n − 1) девяток и шестерки. Так как сумма цифр кратна 3, значит выражение $(10^n - 4)$ − делится на 3 без остатка.
Пожауйста, оцените решение
