Главная

Алгебра 7 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова

авторы: , , , .
издательство: "Просвещение" 2013 г.

Раздел:

Номер №524

Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:
а)
$\frac{10^n - 1}{9}$
;
б)
$\frac{10^n + 8}{9}$
;
в)
$\frac{10^n - 4}{3}$
.

Решение а

$\frac{10^n - 1}{9}$

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение
$(10^n - 1)$
будет делится на 9 без остатка. Число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения
$10^n$
будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения
$(10^n - 1)$
будет состоять из n девяток. Число, состоящее из любого количества 9, делится на 9, значит выражение
$10^n - 1$
делится на 9 без остатка.

Решение б

$\frac{10^n + 8}{9}$

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение
$(10^n + 8)$
будет делится на 9 без остатка. Число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения
$10^n$
будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения
$(10^n + 8)$
будет состоять из единицы, (n − 1) нулей и восьмерки. Сумма цифр равна:
1 + 8 = 9, значит выражение
$10^n + 8$
делится на 9 без остатка.

Решение в

$\frac{10^n - 4}{3}$

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение
$(10^n - 4)$
будет делится на 3 без остатка. Число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Значение выражения
$10^n$
будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения
$(10^n)$
будет состоять из (n − 1) девяток и шестерки. Так как сумма цифр кратна 3, значит выражение
$(10^n - 4)$
− делится на 3 без остатка.