Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:
а)

\frac{10^{n} - 1}{9}

;
б)

\frac{10^{n} + 8}{9}

;
в)

\frac{10^{n} - 4}{3}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. Номер №524

\frac{10^{n} - 1}{9}

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение

(10^{n} - 1)

будет делится на 9 без остатка. Число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Значение выражения

10^{n}

будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения

(10^{n} - 1)

будет состоять из n девяток. Число, состоящее из любого количества 9, делится на 9, значит выражение

10^{n} - 1

делится на 9 без остатка.

\frac{10^{n} + 8}{9}

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение

(10^{n} + 8)

10^{n}

будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения

(10^{n} + 8)

будет состоять из единицы, (n − 1) нулей и восьмерки. Сумма цифр равна:
1 + 8 = 9, значит выражение

10^{n} + 8

делится на 9 без остатка.

\frac{10^{n} - 4}{3}

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение

(10^{n} - 4)

будет делится на 3 без остатка. Число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Значение выражения

10^{n}

будет состоять из единицы и n нулей, тогда значение выражения

(10^{n})

будет состоять из (n − 1) девяток и шестерки. Так как сумма цифр кратна 3, значит выражение

(10^{n} - 4)

− делится на 3 без остатка.

ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова