Найдите все простые числа p и q, для которых

p^{2} - 2 q^{2} = 1

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. Задачи повышенной трудности. Номер №1217

p^{2} - 2 q^{2} = 1

2 q^{2} = p^{2} - 1

2 q^{2} = (p - 1) (p + 1)

Если p − четное, то (p + 1) и (p − 1) будут нечетными, а значит и произведение их будет нечетным, а согласно уравнению

2 q^{2}

− четное число.
Если p − нечетное, то p = 2n + 1, тогда:

2 q^{2} = (2 n + 1 + 1) (2 n + 1 - 1) = (2 n + 2) * 2 n = 4 n (n + 1)

q^{2} = 2 n (n + 1)

Так как,

q^{2}

кратно 2, то единственное простое число удовлетворяющее условию, число 2, тогда q = 2.

p^{2} - 2 q^{2} = 1

p^{2} - 2 * 2^{2} = 1

p^{2} - 2 * 4 = 1

p^{2} = 1 + 8

p^{2} = 9

p = 3
Ответ: q = 2, p = 3.

ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, 2013