$p^2 - 2q^2 = 1$
$2q^2 = p^2 - 1$
$2q^2 = (p - 1)(p + 1)$
Если p − четное, то (p + 1) и (p − 1) будут нечетными, а значит и произведение их будет нечетным, а согласно уравнению $2q^2$ − четное число.
Если p − нечетное, то p = 2n + 1, тогда:
$2q^2 = (2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1) = (2n + 2) * 2n = 4n(n + 1)$
$q^2 = 2n(n + 1)$
Так как, $q^2$ кратно 2, то единственное простое число удовлетворяющее условию, число 2, тогда q = 2.
$p^2 - 2q^2 = 1$
$p^2 - 2 * 2^2 = 1$
$p^2 - 2 * 4 = 1$
$p^2 = 1 + 8$
$p^2 = 9$
p = 3
Ответ: q = 2, p = 3.