$1^3 + 2^2 + ... + 99^3 = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3) + 50^3 = (1 + 99)(1^2 - 1 * 99 + 99^2) + (2 + 98)(2^2 - 2 * 98 + 98^2) + ... + (49 + 51)(49^2 - 49 * 51 + 51^2) + 50^3 = 100 * (1^2 - 1 * 99 + 99^2) + 100 * (2^2 - 2 * 98 + 98^2) + ... + 100 * (49^2 - 49 * 51 + 51^2) + 125000 = 100 * ((1^2 - 1 * 99 + 99^2) + (2^2 - 2 * 98 + 98^2) + ... + (49^2 - 49 * 51 + 51^2) + 1250)$
Так как, один из множителей число 100, то сумма $1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ делится на 100.