1) Выясните, делится ли сумма:
любых двух последовательных натуральных чисел на 2;
любых трех последовательных натуральных чисел на 3;
любых четырех последовательных натуральных чисел на 4;
любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;
любых шести последовательных натуральных чисел на 6.
2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.
Подсказка.
Каждый шаг в п.1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придется вспомнить свойства делимости суммы.
Пусть даны 2 последовательных натуральных числа: 1 и 2, тогда их сумма:
(2 + 1) : 2 = 3 : 2 − не делится на 2.
Значит сумма двух последовательных натуральных чисел n и n + 1:
n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 − нечетное число, не делится на 2.
Пусть даны 3 последовательных натуральных числа: 1, 2 и 3 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3) : 3 = 6 : 3 = 2 − делится на 3.
Значит сумма трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2:
n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 3) − делится на 3.
Пусть даны 4 последовательных натуральных числа: 1, 2, 3 и 4 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3 + 4) : 4 = 10 : 4 − не делится на 4.
Значит сумма четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n + 4) + 2 − не делится на 4.
Пусть даны 5 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и 5 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 5 = 15 : 5 = 3 − делится на 5.
Значит сумма пяти последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 15 = 5(n + 3) − делится на 5.
Пусть даны 6 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6 = 21 : 6 − не делится на 6.
Значит сумма шести последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 6n + 21 = 6n + 18 + 3 = 6(n + 3) + 3 − не делится на 6.
Сумма n последовательных натуральных чисел делится на n, если n − нечетное число.
