Докажите разными способами, что:
а)

a^{5} - b^{5} = (a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4})

;
б)

a^{5} + b^{5} = (a + b) (a^{4} - a^{3} b + a^{2} b^{2} - a b^{3} + b^{4})

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 8.7 Несколько более сложных примеров. Номер №916

Способ 1.
Преобразуем правую часть равенства:

(a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}) = a^{5} - a^{4} b + a^{4} b - a^{3} b^{2} - a^{2} b^{3} + a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} - a b^{4} + a b^{4} - b^{5} = a^{5} - b^{5}

утверждение доказано

Способ 2.
Преобразуем левую часть равенства по формулам сокращенного умножения:

a^{5} - b^{5} = a^{5} - a^{4} b + a^{4} b - a^{3} b^{2} + a^{3} b^{2} - a^{2} b^{3} + a b^{4} - b^{5} = (a^{5} - a^{4} b) + (a^{4} b - a^{3} b^{2}) + (a^{3} b^{2} - a^{2} b^{3}) + (a b^{4} - b^{5}) = a^{4} (a - b) + a^{3} b (a - b) + a^{2} b^{2} (a - b) + b^{4} (a - b) = (a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4})

утверждение доказано

Способ 1.
Преобразуем правую часть равенства:

(a + b) (a^{4} - a^{3} b + a^{2} b^{2} - a b^{3} + b^{4}) = a^{5} + a^{4} b - a^{4} b - a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} + a^{3} b^{2} - a^{2} b^{3} - a b^{4} + a b^{4} + b^{5} = a^{5} + b^{5}

утверждение доказано

Способ 2.
Преобразуем левую часть равенства по формулам сокращенного умножения:

a^5 + b^5 = a^5 + a^4b - a^4b + a^3b^2 - a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 = (a^5 + a^4b) - (a^4b - a^3b^2) + (a^3b^2 - a^b^3) - (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5) = a^4(a + b) - a^3b(a + b) + a^2b^2(a + b) - ab^3(a + b) + b^4(a + b) = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)

утверждение доказано

ГДЗ Алгебра 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович