Способ 1.
Преобразуем правую часть равенства:
$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a^5 - a^4b + a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 + a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + ab^4 - b^5 = a^5 - b^5$
утверждение доказано
 
Способ 2.
Преобразуем левую часть равенства по формулам сокращенного умножения:
$a^5 - b^5 = a^5 - a^4b + a^4b - a^3b^2 + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5 = (a^5 - a^4b) + (a^4b - a^3b^2) + (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5) = a^4(a - b) + a^3b(a - b) + a^2b^2(a - b) + b^4(a - b) = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
утверждение доказано

Способ 1.
Преобразуем правую часть равенства:
$(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = a^5 + a^4b - a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 + a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 + ab^4 + b^5 = a^5 + b^5$
утверждение доказано
 
Способ 2.
Преобразуем левую часть равенства по формулам сокращенного умножения:
$a^5 + b^5 = a^5 + a^4b - a^4b + a^3b^2 - a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 = (a^5 + a^4b) - (a^4b - a^3b^2) + (a^3b^2 - a^b^3) - (a^3b^2 - a^2b^3) + (ab^4 - b^5) = a^4(a + b) - a^3b(a + b) + a^2b^2(a + b) - ab^3(a + b) + b^4(a + b) = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$
утверждение доказано