Проиллюстрируйте каждое из данных утверждений конкретным примером и докажите его:
а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является четным числом;
б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делиться на 6;
в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.
$7^2 - 7 = 49 - 7 = 42$
Пусть:
x − натуральное число;
$x^2$ − квадрат этого числа;
$x^2 - x = x(x - 1)$ − это произведение двух последовательных чисел, одно из них обязательно четное, а другое нечетное, их произведение является четным числом.
Утверждение доказано.
$(2^2 + 2^3) : 6 = (4 + 8) : 6 = 12 : 6 = 2$
Пусть:
$2^x$ и $2^{x + 1}$ − две последовательные степени числа 2.
$2^x + 2^{x + 1} = 2^x(1 + 2^1) = 2^{x - 1} * 2 * 3 = 2^{x - 1} * 6$ − один из множителей равен 6, значит произведение делится на 6.
Утверждение доказано.
$(3^2 + 3^3) : 4 = (9 + 27) : 4 = 36 : 4 = 9$
Пусть:
x − натуральное число;
$x^n$ и $x^{n + 1}$ − две последовательные степени числа x;
x + 1 − следующее за натуральным число.
$x^n + x^{n + 1} = x^n(1 + x) = x^n(x + 1)$ − один из множителей равен x + 1, значит произведение делится на x + 1.
Утверждение доказано.
Пожауйста, оцените решение
