а) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.
б) Докажите, что квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.
Если число не делится на 5, то его можно записать в виде:
1) 5x + 1, тогда:
$(5x + 1)^2 + 1 = 25x^2 + 10x + 1 + 1 = 5(5x^2 + 2x) + 2$ − не делится на 5;
$(5x + 1)^2 - 1 = 25x^2 + 10x + 1 - 1 = 5(5x^2 + 2x)$ − делится на 5.
2) 5x + 2, тогда:
$(5x + 2)^2 + 1 = 25x^2 + 20x + 4 + 1 = 5(5x^2 + 4x) + 5 = 5(5x^2 + 2x + 1)$ − делится на 5;
$(5x + 2)^2 - 1 = 25x^2 + 20x + 4 - 1 = 5(5x^2 + 4x) + 3$ − не делится на 5.
3) 5x + 3, тогда:
$(5x + 3)^2 + 1 = 25x^2 + 30x + 9 + 1 = 5(5x^2 + 6x) + 10 = 5(5x^2 + 6x + 2)$ − делится на 5;
$(5x + 3)^2 - 1 = 25x^2 + 30x + 9 - 1 = 5(5x^2 + 6x) + 8$ − не делится на 5.
4) 5x + 4, тогда:
$(5x + 4)^2 + 1 = 25x^2 + 40x + 16 + 1 = 5(5x^2 + 8x) + 17 = 5(5x^2 + 8x) + 15 + 2 = 5(5x^2 + 8x + 3) + 2$ − не делится на 5;
$(5x + 4)^2 - 1 = 25x^2 + 40x + 16 - 1 = 5(5x^2 + 8x) + 15 = 5(5x^2 + 8x + 3)$ − делится на 5.
Утверждение доказано.
2x + 1 − нечетное число
$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 = 4x(x + 1) + 1$
x(x + 1) − произведение двух последовательных чисел, одно из них обязательно четное, поэтому произведение делится на 2, значит 4x(x + 1) делится на 8.
4x(x + 1) = 8n
4x(x + 1) + 1 = 8n + 1, т.е. остаток от деления на 8 равен 1.
Утверждение доказано.
Пожауйста, оцените решение
