ГДЗ Алгебра 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович

ГДЗ Алгебра 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович

авторы: , , .
издательство: "Просвещение"

Раздел:

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 7.7 Деление с остатком. Номер №789

а) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.
б) Докажите, что квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.

Решение а

Если число не делится на 5, то его можно записать в виде:
1) 5x + 1, тогда:
( 5 x + 1 ) 2 + 1 = 25 x 2 + 10 x + 1 + 1 = 5 ( 5 x 2 + 2 x ) + 2
− не делится на 5;
( 5 x + 1 ) 2 1 = 25 x 2 + 10 x + 1 1 = 5 ( 5 x 2 + 2 x )
− делится на 5.
2) 5x + 2, тогда:
( 5 x + 2 ) 2 + 1 = 25 x 2 + 20 x + 4 + 1 = 5 ( 5 x 2 + 4 x ) + 5 = 5 ( 5 x 2 + 2 x + 1 )
− делится на 5;
( 5 x + 2 ) 2 1 = 25 x 2 + 20 x + 4 1 = 5 ( 5 x 2 + 4 x ) + 3
− не делится на 5.
3) 5x + 3, тогда:
( 5 x + 3 ) 2 + 1 = 25 x 2 + 30 x + 9 + 1 = 5 ( 5 x 2 + 6 x ) + 10 = 5 ( 5 x 2 + 6 x + 2 )
− делится на 5;
( 5 x + 3 ) 2 1 = 25 x 2 + 30 x + 9 1 = 5 ( 5 x 2 + 6 x ) + 8
− не делится на 5.
4) 5x + 4, тогда:
( 5 x + 4 ) 2 + 1 = 25 x 2 + 40 x + 16 + 1 = 5 ( 5 x 2 + 8 x ) + 17 = 5 ( 5 x 2 + 8 x ) + 15 + 2 = 5 ( 5 x 2 + 8 x + 3 ) + 2
− не делится на 5;
( 5 x + 4 ) 2 1 = 25 x 2 + 40 x + 16 1 = 5 ( 5 x 2 + 8 x ) + 15 = 5 ( 5 x 2 + 8 x + 3 )
− делится на 5.
Утверждение доказано.

Решение б

2x + 1 − нечетное число
( 2 x + 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 4 x ( x + 1 ) + 1

x(x + 1) − произведение двух последовательных чисел, одно из них обязательно четное, поэтому произведение делится на 2, значит 4x(x + 1) делится на 8.
4x(x + 1) = 8n
4x(x + 1) + 1 = 8n + 1, т.е. остаток от деления на 8 равен 1.
Утверждение доказано.



Instagram line