а) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.
б) Докажите, что квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 7.7 Деление с остатком. Номер №789

Решение а

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Если число не делится на 5, то его можно записать в виде:
1) 5x + 1, тогда:

(5 x + 1)^{2} + 1 = 25 x^{2} + 10 x + 1 + 1 = 5 (5 x^{2} + 2 x) + 2

− не делится на 5;

(5 x + 1)^{2} - 1 = 25 x^{2} + 10 x + 1 - 1 = 5 (5 x^{2} + 2 x)

− делится на 5.
2) 5x + 2, тогда:

(5 x + 2)^{2} + 1 = 25 x^{2} + 20 x + 4 + 1 = 5 (5 x^{2} + 4 x) + 5 = 5 (5 x^{2} + 2 x + 1)

− делится на 5;

(5 x + 2)^{2} - 1 = 25 x^{2} + 20 x + 4 - 1 = 5 (5 x^{2} + 4 x) + 3

− не делится на 5.
3) 5x + 3, тогда:

(5 x + 3)^{2} + 1 = 25 x^{2} + 30 x + 9 + 1 = 5 (5 x^{2} + 6 x) + 10 = 5 (5 x^{2} + 6 x + 2)

− делится на 5;

(5 x + 3)^{2} - 1 = 25 x^{2} + 30 x + 9 - 1 = 5 (5 x^{2} + 6 x) + 8

− не делится на 5.
4) 5x + 4, тогда:

(5 x + 4)^{2} + 1 = 25 x^{2} + 40 x + 16 + 1 = 5 (5 x^{2} + 8 x) + 17 = 5 (5 x^{2} + 8 x) + 15 + 2 = 5 (5 x^{2} + 8 x + 3) + 2

− не делится на 5;

(5 x + 4)^{2} - 1 = 25 x^{2} + 40 x + 16 - 1 = 5 (5 x^{2} + 8 x) + 15 = 5 (5 x^{2} + 8 x + 3)

− делится на 5.
Утверждение доказано.

Решение б

2x + 1 − нечетное число

(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1 = 4 x (x + 1) + 1

x(x + 1) − произведение двух последовательных чисел, одно из них обязательно четное, поэтому произведение делится на 2, значит 4x(x + 1) делится на 8.
4x(x + 1) = 8n
4x(x + 1) + 1 = 8n + 1, т.е. остаток от деления на 8 равен 1.
Утверждение доказано.

ГДЗ Алгебра 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович, 2014

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 7.7 Деление с остатком. Номер №789

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 7.7 Деление с остатком. Номер №789

Решение а

Решение б