Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание: "Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий − 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын − 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д." . Определите число сыновей и размер завещанных сбережений.

Для решения этой задачи нам понадобится немного алгебры и логики. Давай разберем все по шагам.

Теория

1. Что такое остаток?

Остаток − это то, что остается после того, как из целого числа вычли какую−то его часть. Например, если у нас было 10 яблок, и мы отдали 3, то остаток − это 7 яблок.

2. Как найти часть от числа?

Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на дробь, которая выражает эту часть. Например, чтобы найти $\frac{1}{2}$ от 20, нужно 20 умножить на $\frac{1}{2}$, то есть $20 * \frac{1}{2} = 10$.

3. Уравнения

Уравнение − это математическое выражение, в котором две части равны друг другу. Например, $x + 5 = 10$. Чтобы решить уравнение, нужно найти такое значение $x$, которое делает уравнение верным.

Решение задачи

Пусть у нас всего n сыновей и S рублей.

1. Сколько получил первый сын?

Первый сын получил 1000 рублей и $\frac{1}{8}$ остатка. Значит, после того, как он получил свою часть, осталось $S - (1000 + \frac{1}{8}(S - 1000))$ рублей.

2. Сколько получил второй сын?

Второй сын получил 2000 рублей и $\frac{1}{8}$ нового остатка. Важно понять, что после первого сына остаток был поделен так, что второй сын получил свою долю, и у них осталось столько же денег, сколько осталось бы после первого сына, если бы он получил только свою долю.

3. Выразим остаток после первого сына через остаток после второго сына

Пусть $S_1$ − это остаток после первого сына, а $S_2$ − остаток после второго сына. Тогда:

$S_1 = S - (1000 + \frac{1}{8}(S - 1000))$

$S_2 = S_1 - (2000 + \frac{1}{8}(S_1 - 2000))$

Но так как все сыновья получили поровну, то $S_2$ должен быть равен остатку, который получился бы, если бы первый сын получил только свою долю. Это значит, что если бы мы просто вычли долю первого сына, то у нас осталось бы столько же, сколько после второго сына.

4. Составим уравнение

Так как все сыновья получили одинаково, то можно приравнять доли первого и второго сына:

$1000 + \frac{1}{8}(S - 1000) = 2000 + \frac{1}{8}(S_1 - 2000)$

где $S_1 = S - (1000 + \frac{1}{8}(S - 1000))$

5. Упростим уравнение

Подставим выражение для $S_1$ в уравнение:

$1000 + \frac{1}{8}(S - 1000) = 2000 + \frac{1}{8}((S - (1000 + \frac{1}{8}(S - 1000))) - 2000)$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:

$8000 + S - 1000 = 16000 + (S - (1000 + \frac{1}{8}(S - 1000)) - 2000)$
$7000 + S = 16000 + S - 3000 - \frac{1}{8}(S - 1000)$
$7000 + S = 13000 + S - \frac{1}{8}(S - 1000)$

Вычтем $S$ из обеих частей:
$7000 = 13000 - \frac{1}{8}(S - 1000)$
Умножим обе части на 8:
$56000 = 104000 - (S - 1000)$
$56000 = 105000 - S$
$S = 105000 - 56000$
$S = 49000$
Итак, общая сумма сбережений равна 49000 рублей.

6. Найдем долю каждого сына

Доля первого сына:
$1000 + \frac{1}{8}(49000 - 1000) = 1000 + \frac{1}{8}(48000) = 1000 + 6000 = 7000$
Каждый сын получил 7000 рублей.

7. Найдем количество сыновей

Чтобы найти количество сыновей, нужно общую сумму разделить на долю каждого сына:
$n = \frac{49000}{7000} = 7$
Итак, у него было 7 сыновей.

Ответ:
У отца было 7 сыновей, и общая сумма сбережений составляла 49000 рублей.