Вычислите:
а) $16\frac{4}{9} - 3\frac{2}{15}$;
б) $42\frac{7}{10} - 3\frac{4}{15}$;
в) $15\frac{11}{12} + 4\frac{7}{15}$.

Для решения этих примеров, нам нужно вспомнить, как складывать и вычитать смешанные числа (числа, состоящие из целой и дробной части).

Теория:

1. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. НОЗ − это наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель. Дополнительный множитель − это число, которое получается при делении нового знаменателя на старый.

2. Сложение и вычитание смешанных чисел:

• Если нужно сложить смешанные числа, складываем отдельно целые части и отдельно дробные части. Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем её к целой части суммы.
• Если нужно вычесть смешанные числа, вычитаем отдельно целые части и отдельно дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу из целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части уменьшаемого.

3. Выделение целой части из неправильной дроби: Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Частное будет целой частью, а остаток − числителем новой дроби (знаменатель остается прежним).

Решение:

а) $16\frac{4}{9} - 3\frac{2}{15}$

Приводим дроби к общему знаменателю. НОЗ(9, 15) = 45.
Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель: $45 : 9 = 5$. Тогда $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}$.
Для дроби $\frac{2}{15}$ дополнительный множитель: $45 : 15 = 3$. Тогда $\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{6}{45}$.
Выполняем вычитание: $16\frac{20}{45} - 3\frac{6}{45} = (16 - 3) + (\frac{20}{45} - \frac{6}{45}) = 13 + \frac{14}{45} = 13\frac{14}{45}$.

б) $42\frac{7}{10} - 3\frac{4}{15}$

Приводим дроби к общему знаменателю. НОЗ(10, 15) = 30.
Для дроби $\frac{7}{10}$ дополнительный множитель: $30 : 10 = 3$. Тогда $\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$.
Для дроби $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель: $30 : 15 = 2$. Тогда $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$.
Выполняем вычитание: $42\frac{21}{30} - 3\frac{8}{30} = (42 - 3) + (\frac{21}{30} - \frac{8}{30}) = 39 + \frac{13}{30} = 39\frac{13}{30}$.

в) $15\frac{11}{12} + 4\frac{7}{15}$

Приводим дроби к общему знаменателю. НОЗ(12, 15) = 60.
Для дроби $\frac{11}{12}$ дополнительный множитель: $60 : 12 = 5$. Тогда $\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$.
Для дроби $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель: $60 : 15 = 4$. Тогда $\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$.
Выполняем сложение: $15\frac{55}{60} + 4\frac{28}{60} = (15 + 4) + (\frac{55}{60} + \frac{28}{60}) = 19 + \frac{83}{60}$.
Выделяем целую часть из неправильной дроби $\frac{83}{60}$. $83 : 60 = 1$ (остаток 23). Значит, $\frac{83}{60} = 1\frac{23}{60}$.
Складываем целые части: $19 + 1\frac{23}{60} = 20\frac{23}{60}$.

Ответы:
а) $13\frac{14}{45}$
б) $39\frac{13}{30}$
в) $20\frac{23}{60}$