Первая бригада может покрасить многоэтажный дом за 8 дней, а вторая − за 12 дней. Какую часть дома останется покрасить, если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая − 5 дней?

Для решения этой задачи, нам нужно понять, какую часть работы каждая бригада выполняет за один день, и затем рассчитать, сколько они сделают вместе за указанное время.

Теория:

1. Работа и время: Если какая−то работа выполняется за определенное время, то часть работы, выполненная за единицу времени (например, за один день), называется производительностью.

2. Производительность: Чтобы найти производительность, нужно всю работу (которую мы принимаем за 1) разделить на время, за которое она выполняется.

3. Совместная работа: Если две бригады работают вместе, их производительности складываются.

4. Остаток работы: Чтобы найти, сколько работы осталось, нужно из всей работы (1) вычесть ту часть, которая уже выполнена.

Решение:

1. Найдем производительность каждой бригады.
Первая бригада красит дом за 8 дней, значит, её производительность $\frac{1}{8}$ дома в день. Это означает, что за один день первая бригада красит $\frac{1}{8}$ часть дома.
Вторая бригада красит дом за 12 дней, значит, её производительность $\frac{1}{12}$ дома в день. Это означает, что за один день вторая бригада красит $\frac{1}{12}$ часть дома.

2. Вычислим, какую часть дома покрасит первая бригада за 3 дня.
Первая бригада работает 3 дня и красит $\frac{1}{8}$ дома в день, следовательно, за 3 дня она покрасит $3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ дома.

3. Вычислим, какую часть дома покрасит вторая бригада за 5 дней.
Вторая бригада работает 5 дней и красит $\frac{1}{12}$ дома в день, следовательно, за 5 дней она покрасит $5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ дома.

4. Найдем, какую часть дома покрасят обе бригады вместе.
Первая бригада покрасила $\frac{3}{8}$ дома, а вторая бригада покрасила $\frac{5}{12}$ дома. Вместе они покрасили $\frac{3}{8} + \frac{5}{12}$ дома.
Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 − это 24.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$
Следовательно, вместе они покрасили $\frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$ дома.

5. Вычислим, какую часть дома осталось покрасить.
Весь дом − это 1, значит, чтобы найти, сколько осталось покрасить, нужно из 1 вычесть ту часть, которую уже покрасили: $1 - \frac{19}{24}$.
Представим 1 как $\frac{24}{24}$, тогда $\frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$ дома.

Ответ: Останется покрасить $\frac{5}{24}$ дома.