Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

Сначала немного теории, чтобы было понятно, что мы делаем.

Теория

1. Натуральные числа: Это числа, которые мы используем для счета: 1, 2, 3 и так далее.
2. Переместительное свойство сложения натуральных чисел: Это значит, что порядок, в котором мы складываем два натуральных числа, не важен. То есть, a + b = b + a.
3. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел: Это значит, что когда мы складываем три или больше натуральных чисел, не важно, как мы группируем их. То есть, (a + b) + c = a + (b + c).
4. Дроби с одинаковыми знаменателями: Это дроби, у которых одинаковое число внизу (знаменатель). Например, $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{5}$.
5. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, мы складываем их числители (верхние числа) и оставляем знаменатель тем же. Например, $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$.

Доказательство

Теперь перейдем к доказательству свойств сложения для дробей с одинаковыми знаменателями, используя свойства натуральных чисел.

1. Переместительное свойство сложения для дробей

Мы хотим доказать, что:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$

• Шаг 1: Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

• Шаг 2: Теперь сложим дроби в правой части уравнения:

$\frac{b}{c} + \frac{a}{c} = \frac{b + a}{c}$

• Шаг 3: Используем переместительное свойство сложения для натуральных чисел:

Мы знаем, что для натуральных чисел a и b:

$a + b = b + a$

• Шаг 4: Применим это к нашим дробям:

Так как $a + b = b + a$, то:

$\frac{a + b}{c} = \frac{b + a}{c}$

• Шаг 5: Сделаем вывод:

Из шагов 1 и 2 мы получили:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

$\frac{b}{c} + \frac{a}{c} = \frac{b + a}{c}$

И так как $\frac{a + b}{c} = \frac{b + a}{c}$, то:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$

Таким образом, мы доказали переместительное свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

2. Сочетательное свойство сложения для дробей

Мы хотим доказать, что:

$(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}) + \frac{c}{d} = \frac{a}{d} + (\frac{b}{d} + \frac{c}{d})$

• Шаг 1: Сложим дроби в левой части уравнения, сначала в скобках:

$(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}) + \frac{c}{d} = \frac{a + b}{d} + \frac{c}{d}$

• Шаг 2: Теперь сложим полученную дробь с $\frac{c}{d}$:

$\frac{a + b}{d} + \frac{c}{d} = \frac{(a + b) + c}{d}$

• Шаг 3: Сложим дроби в правой части уравнения, сначала в скобках:

$\frac{a}{d} + (\frac{b}{d} + \frac{c}{d}) = \frac{a}{d} + \frac{b + c}{d}$

• Шаг 4: Теперь сложим $\frac{a}{d}$ с полученной дробью:

$\frac{a}{d} + \frac{b + c}{d} = \frac{a + (b + c)}{d}$

• Шаг 5: Используем сочетательное свойство сложения для натуральных чисел:

Мы знаем, что для натуральных чисел a, b и c:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

• Шаг 6: Применим это к нашим дробям:

Так как $(a + b) + c = a + (b + c)$, то:

$\frac{(a + b) + c}{d} = \frac{a + (b + c)}{d}$

• Шаг 7: Сделаем вывод:

Из шагов 1 и 2 мы получили:

$(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}) + \frac{c}{d} = \frac{(a + b) + c}{d}$

Из шагов 3 и 4 мы получили:

$\frac{a}{d} + (\frac{b}{d} + \frac{c}{d}) = \frac{a + (b + c)}{d}$

И так как $\frac{(a + b) + c}{d} = \frac{a + (b + c)}{d}$, то:

$(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}) + \frac{c}{d} = \frac{a}{d} + (\frac{b}{d} + \frac{c}{d})$

Таким образом, мы доказали сочетательное свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.