Выполните действия:
а) $2\frac{4}{7} + 31 + 4\frac{13}{21} + 5\frac{3}{7} + 3\frac{1}{14} + \frac{8}{21}$;
б) $7\frac{7}{20} - 4,75 + 3\frac{4}{5}$;
в) $9\frac{7}{15} - (5\frac{1}{9} + 2\frac{2}{15})$;
г) $(22\frac{8}{9} + 2\frac{1}{7}) - 9\frac{5}{9}$.

Сначала немного теории, чтобы все было понятно:

1. Смешанные числа. Смешанное число состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{4}{7}$). Чтобы выполнять действия с ними, часто удобнее переводить их в неправильные дроби.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель остается тем же.

Например: $2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14 + 4}{7} = \frac{18}{7}$

2. Сложение и вычитание дробей. Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.

Чтобы найти общий знаменатель, можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.
Затем нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель.

Например: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. НОК(2, 3) = 6.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.
Тогда $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

3. Десятичные дроби. Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, нужно записать их так, чтобы запятая была под запятой, и затем выполнить сложение или вычитание как с обычными числами.

4. Сочетание десятичных и обыкновенных дробей. В таких случаях, лучше всего перевести либо десятичную дробь в обыкновенную, либо обыкновенную в десятичную, чтобы выполнить действия.

Теперь давай решим примеры:

а) $2\frac{4}{7} + 31 + 4\frac{13}{21} + 5\frac{3}{7} + 3\frac{1}{14} + \frac{8}{21}$

Сгруппируем целые части и дроби с одинаковыми знаменателями:

$(2\frac{4}{7} + 5\frac{3}{7}) + (4\frac{13}{21} + \frac{8}{21}) + 31 + 3\frac{1}{14} = (2+5)\frac{4+3}{7} + 4\frac{13+8}{21} + 31 + 3\frac{1}{14} = 7\frac{7}{7} + 4\frac{21}{21} + 31 + 3\frac{1}{14} = 7 + 1 + 4 + 1 + 31 + 3\frac{1}{14} = 46 + 3\frac{1}{14} = 49\frac{1}{14}$

б) $7\frac{7}{20} - 4,75 + 3\frac{4}{5}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $4,75 = 4\frac{75}{100} = 4\frac{3}{4}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю (20):

$7\frac{7}{20} - 4\frac{3}{4} + 3\frac{4}{5} = 7\frac{7}{20} - 4\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + 3\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 7\frac{7}{20} - 4\frac{15}{20} + 3\frac{16}{20}$

Теперь преобразуем $7\frac{7}{20}$ в $6\frac{20+7}{20} = 6\frac{27}{20}$, чтобы можно было вычесть дробь $4\frac{15}{20}$:

$6\frac{27}{20} - 4\frac{15}{20} + 3\frac{16}{20} = (6-4)\frac{27-15}{20} + 3\frac{16}{20} = 2\frac{12}{20} + 3\frac{16}{20} = (2+3)\frac{12+16}{20} = 5\frac{28}{20} = 5 + \frac{28}{20} = 5 + 1\frac{8}{20} = 6\frac{8}{20} = 6\frac{2}{5}$

в) $9\frac{7}{15} - (5\frac{1}{9} + 2\frac{2}{15})$

Сначала сложим дроби в скобках:

$5\frac{1}{9} + 2\frac{2}{15}$. Найдем общий знаменатель для 9 и 15. НОК(9, 15) = 45.

$5\frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5} + 2\frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = 5\frac{5}{45} + 2\frac{6}{45} = (5+2)\frac{5+6}{45} = 7\frac{11}{45}$

Теперь вычтем полученный результат из $9\frac{7}{15}$:

$9\frac{7}{15} - 7\frac{11}{45}$. Приведем дроби к общему знаменателю (45):

$9\frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} - 7\frac{11}{45} = 9\frac{21}{45} - 7\frac{11}{45} = (9-7)\frac{21-11}{45} = 2\frac{10}{45} = 2\frac{2}{9}$

г) $(22\frac{8}{9} + 2\frac{1}{7}) - 9\frac{5}{9}$

Сначала сложим дроби в скобках:

$22\frac{8}{9} + 2\frac{1}{7}$. Найдем общий знаменатель для 9 и 7. НОК(9, 7) = 63.

$22\frac{8 \cdot 7}{9 \cdot 7} + 2\frac{1 \cdot 9}{7 \cdot 9} = 22\frac{56}{63} + 2\frac{9}{63} = (22+2)\frac{56+9}{63} = 24\frac{65}{63} = 24 + 1\frac{2}{63} = 25\frac{2}{63}$

Теперь вычтем $9\frac{5}{9}$:

$25\frac{2}{63} - 9\frac{5}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю (63):

$25\frac{2}{63} - 9\frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = 25\frac{2}{63} - 9\frac{35}{63}$

Преобразуем $25\frac{2}{63}$ в $24\frac{63+2}{63} = 24\frac{65}{63}$, чтобы можно было вычесть дробь $9\frac{35}{63}$:

$24\frac{65}{63} - 9\frac{35}{63} = (24-9)\frac{65-35}{63} = 15\frac{30}{63} = 15\frac{10}{21}$

Ответы:
а) $49\frac{1}{14}$
б) $6\frac{2}{5}$
в) $2\frac{2}{9}$
г) $15\frac{10}{21}$