Сократите дробь:
а) $\frac{120}{224}$;
б) $\frac{264}{1540}$;
в) $\frac{4050}{486}$;
г) $\frac{4455}{4725}$.

Для решения задачи по сокращению дробей, нам потребуется понимание следующих понятий и алгоритмов:

1. Делитель числа: Делителем числа a называется число, на которое a делится без остатка. Например, делителями числа 6 являются 1, 2, 3 и 6.

2. Простое число: Простое число − это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.

3. Разложение на простые множители: Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением на простые множители. Например, 12 = 2 * 2 * 3.

4. Наибольший общий делитель (НОД): Наибольший общий делитель двух или нескольких чисел − это наибольшее число, на которое каждое из данных чисел делится без остатка. Чтобы найти НОД, можно разложить числа на простые множители и выбрать общие множители в наименьших степенях.

5. Сокращение дроби: Сокращение дроби означает деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Дробь считается несократимой, если числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1 (то есть, их НОД равен 1).

Алгоритм сокращения дроби:

1. Найти НОД числителя и знаменателя.
2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Теперь решим предложенные примеры:

а) $\frac{120}{224}$

Находим НОД(120, 224):

Разложим 120 на простые множители:
$120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

Разложим 224 на простые множители:
$224 = 2 \cdot 112 = 2 \cdot 2 \cdot 56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^5 \cdot 7$
Общие множители: $2^3 = 8$
НОД(120, 224) = 8

Сокращаем дробь:

$\frac{120}{224} = \frac{120 : 8}{224 : 8} = \frac{15}{28}$

Ответ: $\frac{120}{224} = \frac{15}{28}$

б) $\frac{264}{1540}$

Находим НОД(264, 1540):

Разложим 264 на простые множители:
$264 = 2 \cdot 132 = 2 \cdot 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$

Разложим 1540 на простые множители:
$1540 = 2 \cdot 770 = 2 \cdot 2 \cdot 385 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 77 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$

Общие множители: $2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44$
НОД(264, 1540) = 44

Сокращаем дробь:

$\frac{264}{1540} = \frac{264 : 44}{1540 : 44} = \frac{6}{35}$

Ответ: $\frac{264}{1540} = \frac{6}{35}$

в) $\frac{4050}{486}$

Находим НОД(4050, 486):

Разложим 4050 на простые множители:
$4050 = 2 \cdot 2025 = 2 \cdot 3 \cdot 675 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 225 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 75 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^4 \cdot 5^2$

Разложим 486 на простые множители:
$486 = 2 \cdot 243 = 2 \cdot 3 \cdot 81 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 27 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^5$

Общие множители: $2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$
НОД(4050, 486) = 162

Сокращаем дробь:

$\frac{4050}{486} = \frac{4050 : 162}{486 : 162} = \frac{25}{3}$

Выделим целую часть:
$\frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{4050}{486} = 8\frac{1}{3}$

г) $\frac{4455}{4725}$

Находим НОД(4455, 4725):

Разложим 4455 на простые множители:
$4455 = 3 \cdot 1485 = 3 \cdot 3 \cdot 495 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 165 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 33 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 11 = 3^4 \cdot 5 \cdot 11$

Разложим 4725 на простые множители:
$4725 = 3 \cdot 1575 = 3 \cdot 3 \cdot 525 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 175 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7$

Общие множители: $3^3 \cdot 5 = 27 \cdot 5 = 135$
НОД(4455, 4725) = 135

Сокращаем дробь:

$\frac{4455}{4725} = \frac{4455 : 135}{4725 : 135} = \frac{33}{35}$

Ответ: $\frac{4455}{4725} = \frac{33}{35}$