Найдите пересечение множеств A и C, если A − множество всех натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают остаток 1, а C − множество всех натуральных чисел до 30, которые делятся на 4 без остатка.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о множествах, операциях над множествами и делимости чисел.

Теория:

1. Множество − это совокупность каких−либо объектов, называемых элементами множества.

2. Пересечение множеств (A ∩ C) − это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству C.

3. Делимость чисел:

• Число a делится на число b (без остатка), если существует такое целое число k, что a = b * k. В этом случае говорят, что b является делителем a.
• Если при делении числа a на число b получается остаток r, это означает, что a = b * k + r, где k − целое число (частное), а r − остаток (0 ≤ r < b).

Решение:

1. Определим множество A:

Множество A состоит из натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают остаток 1. Чтобы найти эти числа, можно перебрать все числа от 1 до 30 и проверить каждое из них. Или можно найти первое число, удовлетворяющее условию (это 1), и затем добавлять к нему 3 до тех пор, пока не достигнем максимального числа, не превосходящего 30.

1 при делении на 3 дает остаток 1 (1 = 3 * 0 + 1)
1 + 3 = 4 при делении на 3 дает остаток 1 (4 = 3 * 1 + 1)
4 + 3 = 7 при делении на 3 дает остаток 1 (7 = 3 * 2 + 1)
7 + 3 = 10 при делении на 3 дает остаток 1 (10 = 3 * 3 + 1)
10 + 3 = 13 при делении на 3 дает остаток 1 (13 = 3 * 4 + 1)
13 + 3 = 16 при делении на 3 дает остаток 1 (16 = 3 * 5 + 1)
16 + 3 = 19 при делении на 3 дает остаток 1 (19 = 3 * 6 + 1)
19 + 3 = 22 при делении на 3 дает остаток 1 (22 = 3 * 7 + 1)
22 + 3 = 25 при делении на 3 дает остаток 1 (25 = 3 * 8 + 1)
25 + 3 = 28 при делении на 3 дает остаток 1 (28 = 3 * 9 + 1)
28 + 3 = 31 − больше 30, поэтому останавливаемся.

Таким образом, A = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}.

2. Определим множество C:

Множество C состоит из натуральных чисел от 1 до 30, которые делятся на 4 без остатка. Чтобы найти эти числа, можно умножать 4 на последовательные натуральные числа до тех пор, пока результат не превысит 30.

4 * 1 = 4
4 * 2 = 8
4 * 3 = 12
4 * 4 = 16
4 * 5 = 20
4 * 6 = 24
4 * 7 = 28
4 * 8 = 32 − больше 30, поэтому останавливаемся.

Таким образом, C = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}.

3. Найдем пересечение множеств A и C (A ∩ C):

Пересечение A ∩ C содержит элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству C. Сравниваем элементы множеств A и C:

4 есть в A и в C.
16 есть в A и в C.
28 есть в A и в C.

Таким образом, A ∩ C = {4, 16, 28}.

Ответ: A ∩ C = {4, 16, 28}.