Решение:
Пусть на первом курсе студент сдал x экзаменов, тогда:
3x экзаменов сдал студент на пятом курсе;
Найдем максимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, тогда количество экзаменов:
на 1 курсе x;
на 2 курсе x + 1;
на 3 курсе x + 2;
на 4 курсе x + 3;
на 5 курсе 3x.
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + 3x = 31
7x = 31 − 6
7x = 25

максимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, так как количество экзаменов обязательно целое число, то максимум 3 экзамена.
Найдем минимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, тогда количество экзаменов:
на 1 курсе x;
на 2 курсе 3x − 3;
на 3 курсе 3x − 2;
на 4 курсе 3x − 1;
на 5 курсе 3x.
x + 3x − 3 + 3x − 2 + 3x − 1 + 3x = 31
13x = 31 + 3 + 2 + 1
13x = 37
минимальное количество экзаменов, которое мог сдать студент на первом курсе, так как количество экзаменов обязательно целое число, то минимум 3 экзамена.
3 * 3 = 9 экзаменов сдавал студент на 5 курсе.
31 − (3 + 9) = 31 − 12 = 19 экзаменов всего сдал студент на 2, 3 и 4 курсе.
Пусть на 4 курсе он сдал 7 экзаменов, тогда на 19 − 7 = 12 экзаменов он сдал на 2 и 3 курсе.
12 нельзя разложить на два разных слагаемых, чтобы они были меньше 7(количество предполагаемых экзаменов на 4 курсе) и больше 3(количество экзаменов на 1 курсе), следовательно, 7 экзаменов для 4 курса не подходит.
Пусть на 4 курсе он сдал 8 экзаменов, тогда на 19 − 8 = 11 экзаменов он сдал на 2 и 3 курсе.
11 = 5 + 6, следовательно, на 2 курсе студент сдал 5 экзаменов, а на 3 курсе 6 экзаменов.
Ответ: 8 экзаменов.