Решение:
$\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{1}{x + \frac{1}{\frac{zy + 1}{z}}} = \frac{1}{x + \frac{z}{{zy + 1}}} = \frac{xyz + x + x}{zy + 1} = \frac{zy + 1}{xyz + x + x} = \frac{7}{30}$
Пусть z = 2; y = 3, тогда:
6x + x + 2 = 30
7x = 30 − 2
7x = 28
x = 28 : 7 = 4
Пусть z = 3; y = 2, тогда:
6x + x + 3 = 30
7x = 30 − 3
7x = 27
x = $\frac{27}{7}$ − не натуральное число.
Пусть z = 1; y = 6, тогда:
6x + x + 1 = 30
7x = 30 − 1
7x = 29
x = $\frac{29}{7}$ − не натуральное число.
Пусть z = 6; y = 1, тогда:
6x + x + 6 = 30
7x = 30 − 6
7x = 24
x = $\frac{24}{7}$ − не натуральное число.
Получается, что только при z = 2; y = 3; x = 4 равенство будет верным.
Ответ:
x = 4;
y = 3;
z = 2.

Решение:
$\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{1}{x + \frac{1}{\frac{zy + 1}{z}}} = \frac{1}{x + \frac{z}{{zy + 1}}} = \frac{xyz + x + x}{zy + 1} = \frac{zy + 1}{xyz + x + x} = \frac{7}{30}$
Пусть z = 2; y = 3, тогда:
6x + x + 2 = 30
7x = 30 − 2
7x = 28
x = 28 : 7 = 4
Пусть z = 3; y = 2, тогда:
6x + x + 3 = 30
7x = 30 − 3
7x = 27
x = $\frac{27}{7}$ − не целое число.
Пусть z = 1; y = 6, тогда:
6x + x + 1 = 30
7x = 30 − 1
7x = 29
x = $\frac{29}{7}$ − не целое число.
Пусть z = 6; y = 1, тогда:
6x + x + 6 = 30
7x = 30 − 6
7x = 24
x = $\frac{24}{7}$ − не целое число.
Пусть z = −1; y = −6, тогда:
6x + x − 1 = 30
7x = 30 + 1
7x = 31
x = $\frac{31}{7}$ − не целое число.
Пусть z = −6; y = −1, тогда:
6x + x − 6 = 30
7x = 30 + 6
7x = 36
x = $\frac{36}{7}$ − не целое число.
Пусть z = −2; y = −3, тогда:
6x + x − 2 = 30
7x = 30 + 2
7x = 32
x = $\frac{32}{7}$ − не целое число.
Пусть z = −3; y = −2, тогда:
6x + x − 3 = 30
7x = 30 + 3
7x = 33
x = $\frac{33}{7}$ − не целое число.
Получается, что только при z = 2; y = 3; x = 4 равенство будет верным.
Ответ:
x = 4;
y = 3;
z = 2.