Доказательство:
Каждое слагаемое суммы больше $\frac{1}{15}$. Тогда:
$\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}>\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}$
Так как $\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, то:
$\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}>\frac{1}{3}$

Доказательство:
$\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+к+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{2}$
Каждое слагаемое суммы больше $\frac{1}{100}$, тогда:
$\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+K+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+K+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}$.
Так как:
$\underset{50раз}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+K+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}}}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$, то:
$\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+K+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}>\frac{1}{2}$.