Доказательство:
Каждое слагаемое суммы больше $\frac{1}{15}$. Тогда:
$\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15}$
Так как $\frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$, то:
$\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} > \frac{1}{3}$

Доказательство:
$\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + к + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > \frac{1}{2}$
Каждое слагаемое суммы больше $\frac{1}{100}$, тогда:
$\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + K + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + K + \frac{1}{100} + \frac{1}{100}$.
Так как:
$\underbrace{\frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + K + \frac{1}{100} + \frac{1}{100}}_{50\;раз} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$, то:
$\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \frac{1}{53} + K + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} > \frac{1}{2}$.