ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Дана правильная дробь $\frac{2}{3}$. Запишите обратную ей дробь и определите, какая из этих двух дробей ближе к 1.
2) Запишите какую−нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент еще раз.
3) Сделайте вывод о том, какая из дробей ближе к 1 − правильная или обратная ей неправильная. Поясните свой вывод.
Дробь, обратная $\frac{2}{3}$ есть дробь $\frac{3}{2}$.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.
$\frac{1}{3}$ до единицы у дроби $\frac{2}{3}$;
$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$, значит $\frac{1}{2}$ до единицы у дроби $\frac{3}{2}$.
$\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, значит дробь $\frac{2}{3}$ ближе к единице.
Дробь, обратная $\frac{2}{5}$ есть дробь $\frac{5}{2}$.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.
$\frac{3}{5}$ до единицы у дроби $\frac{2}{5}$;
$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$, значит $1\frac{1}{2}$ до единицы у дроби $\frac{5}{2}$.
$\frac{3}{5} < 1\frac{1}{2}$, значит дробь $\frac{2}{5}$ ближе к единице.
Дробь, обратная $\frac{3}{7}$ есть дробь $\frac{7}{3}$.
К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше.
$\frac{4}{7}$ до единицы у дроби $\frac{3}{7}$;
$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$, значит $1\frac{1}{3}$ до единицы у дроби $\frac{7}{3}$.
$\frac{4}{7} < 1\frac{1}{3}$, значит дробь $\frac{3}{7}$ ближе к единице.
К единице ближе правильная дробь, чем обратная ей неправильная. Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$, где a < b (то есть данная дробь правильная).
Дробь обратная данной есть $\frac{b}{a}$. К единице ближе та дробь, разница которой с единицей меньше. Найдем разницу с единицей данных дробей:
$1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{(b - a)}{b}$;
$\frac{b}{a} - 1 = \frac{b}{a} - \frac{a}{a} = \frac{(b - a)}{a}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше, a < b, значит:
$\frac{(b - a)}{b} < \frac{(b - a)}{a}$, поэтому дробь $\frac{a}{b}$ ближе к единице.
Пожауйста, оцените решение
