Убедитесь сами, что квадрат Дюрера является магическим, вычислив суммы по строкам, столбцам и диагоналям. Исследуйте другие свойства этого квадрата, посчитав сумму чисел центрального квадрата и каждого из угловых квадратов.

Как же составляют магические квадраты? Составим, например, магический квадрат из чисел от 1 до 9, как тот, что изображен на рисунке 2.

Рис.2

Для этого можно попробоавть перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет, вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400000 разных расстановок чисел в этом квадрате.
Гораздо интереснее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений.
Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел должна быть равна 15.
Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9:
9 + 5 + 1
9 + 4 + 2
8 + 6 + 1
8 + 5 + 2
8 + 4 + 3
7 + 6 + 2
7 + 5 + 3
6 + 5 + 4
Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах 4 раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах 3 раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только 2 раза (строка и столбец).
Поскольку в полученных суммах 4 раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.
Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали: 1, 3, 7 и 9. Их нужно поставить на свободные места, учитывая при этом, что сумма чисел в каждой строке должна быть равна 15.
Описанный способ дает несколько разных магических квадратов. Например, число 8 можно расположжить в любом из четырех углов, что позволит получить разные по виду квадраты.