Старинная игра со спичками.
Дано 15 спичек. Каждый из двух игроков по очереди берет либо одну, либо две, либо три спички. Проигрывает тот, кому досталась последняя спичка. Как играть, чтобы не проиграть, если у тебя первый ход?

Для решения задачи необходимо обращаться к принципам математической теории игр, а именно к играм с полной информацией. Это класс задач, где каждый игрок знает текущее состояние игры и возможные ходы оппонента, что позволяет предсказывать исход, если оба игрока действуют рационально.

Игра со спичками является типичным примером комбинаторной игры. Давайте разберем теоретическую часть, которая поможет понять, как выигрывать в подобных играх.

1. Понимание основных правил игры

• У нас есть 15 спичек.
• Игроки по очереди берут либо 1, либо 2, либо 3 спички.
• Проигрывает тот, кто забирает последнюю спичку.

2. Цель игры

Цель каждого игрока — заставить оппонента взять последнюю спичку, то есть проиграть. Чтобы этого добиться, важно уметь планировать свои ходы, анализируя возможные действия противника.

3. Анализ позиции

Для анализа игры вводится понятие "выигрышных" и "проигрышных" позиций:
− Выигрышная позиция — это такая позиция, в которой игрок, делающий ход, может гарантировать себе победу, вне зависимости от действий второго игрока.
− Проигрышная позиция — это позиция, в которой игрок, делающий ход, неизбежно проиграет, если его противник играет оптимально.

4. Определение ключевых позиций

Для игры с 15 спичками можно рассчитать ключевые позиции. Здесь важно понять, что если игроку удается оставить оппоненту "проигрышную позицию", он гарантирует себе победу.

Принцип расчета:

• Если на столе остается 1 спичка, игрок, которому нужно делать ход, обязательно проигрывает, потому что он вынужден взять последнюю спичку.
• Если на столе остается 2, 3 или 4 спички, то игрок, делающий ход, может заставить противника забрать последнюю спичку, оставляя ему 1 спичку после своего хода.
• Следовательно, позиции, где на столе остается 5 спичек, снова являются проигрышными, потому что любой ход (взять 1, 2 или 3 спички) приведет к выигрышной позиции для оппонента.

Таким образом, можно выделить проигрышные позиции, которые являются ключевыми:
− 1, 5, 9, 13 — проигрышные позиции (если ты делаешь ход в такой позиции, ты не можешь выиграть при оптимальной игре соперника).

Соответственно, все остальные позиции — выигрышные, если ты играешь рационально.

5. Стратегия первого игрока

Теперь, когда мы знаем ключевые проигрышные позиции (1, 5, 9, 13), можно сформулировать стратегию для первого игрока:
1. Первый игрок должен стремиться оставить оппоненту одну из проигрышных позиций после своего хода.
2. Если текущая позиция не позволяет создать проигрышную позицию для оппонента, нужно выбрать ход, который максимально усложнит дальнейшую игру для второго игрока, приближая его к проигрышной позиции.

6. Пошаговый анализ

Если ты — первый игрок, и на столе 15 спичек, твоя задача — оставить оппоненту проигрышную позицию. Для этого:
− Оптимальным первым ходом будет взять такое количество спичек, чтобы на столе осталось 13 (проигрышная позиция для второго игрока).
− После этого, независимо от того, сколько спичек возьмет второй игрок (1, 2 или 3), ты сможешь оставить ему следующую проигрышную позицию (9, затем 5, затем 1), следуя этому принципу.

Итоговые выводы:

• Победа в этой игре зависит от умения оставлять противнику проигрышные позиции.
• Если ты играешь первым, твоя цель — с первого хода перейти к последовательности действий, при которой ты всегда оставляешь оппоненту 13, 9, 5 или 1 спичку.