Верны ли неравенства:
а) $\frac{12150 : 27 : 9 * 20}{12150 : (27 : 9) * 20} ≤ 1$;
б) $\frac{29120 : 520 + 40 * 305}{29120 : (520 + 40) * 305} ≥ 1$.

Чтобы ответить на вопрос о верности данных неравенств, необходимо рассмотреть методы их анализа, используя законы арифметики, порядок действий, свойства дробей и неравенств. Теоретическая часть включает следующие аспекты:

Операции в математике и их порядок выполнения

1. Порядок действий:

   • В выражениях, содержащих различные операции, применяют следующий порядок действий:
   • Выполнение операций в скобках.
   • Умножение и деление выполняются слева направо.
   • Сложение и вычитание проводятся после всех предыдущих операций.
   • Если скобки отсутствуют, выполняется последовательный расчет слева направо, соблюдая приоритет операций.

2. Деление и умножение:

   • Деление чисел представляет собой нахождение частного двух чисел, а умножение — их произведения.
   • При наличии нескольких операций деления и умножения в выражении, порядок их выполнения важен для правильного результата. Например: $$ a : b : c \neq a : (b : c) $$ Если не указаны скобки, выполняется деление слева направо: $$ a : b : c = (a : b) : c $$

3. Сокращение дробей:

   • Если числитель и знаменатель дроби содержат одинаковые множители, их можно сократить: $$ \frac{a \cdot x}{b \cdot x} = \frac{a}{b} $$

Свойства дробей

1. Сравнение дробей:

   • Если числитель дроби увеличивается (при неизменном знаменателе), значение дроби увеличивается.
   • Если знаменатель дроби увеличивается (при неизменном числителе), значение дроби уменьшается.

2. Сравнение дробей с числом $1$:

   • Если дробь меньше $1$, то числитель дроби меньше знаменателя.
   • Если дробь больше $1$, то числитель дроби больше знаменателя.

3. Неравенства дробей:

   • Чтобы сравнить две дроби, можно привести их к общему знаменателю или вычислить значения числителей и знаменателей отдельно.

Анализ выражений с дробями

1. Сложные дроби, такие как:
   $$ \frac{a : b : c \cdot d}{a : (b : c) \cdot d} $$
   разбиваются на числитель и знаменатель. Важно правильно интерпретировать порядок операций в числителе и знаменателе.

2. Разделение выражений на числитель и знаменатель:

   • Числитель: $a : b : c \cdot d$.
   • Знаменатель: $a : (b : c) \cdot d$.

3. Упрощение дроби:

   • Вычисление каждого компонента числителя и знаменателя отдельно.
   • Анализ результата: проверка, больше ли числитель знаменателя, меньше или равен.

Анализ выражений с суммой и произведением

1. Сложные дроби, такие как:
   $$ \frac{a : b + c \cdot d}{a : (b + c) \cdot d} $$
   требуют внимательного применения порядка действий.

2. Порядок операций в числителе:

   • Сначала выполняется деление $a : b$.
   • Затем выполняется сложение $ + c \cdot d$.

3. Порядок операций в знаменателе:

   • Сначала выполняется сложение $b + c$, а затем деление $a : (b + c)$.
   • После этого выполняется умножение на $d$.

Сравнение значений выражений

1. После упрощения числителя и знаменателя выражения, необходимо сравнить дробь с числом $1$, что требует анализа:

   • Если числитель меньше знаменателя, то дробь $ \leq 1 $.
   • Если числитель больше знаменателя, то дробь $ \geq 1 $.
   • Если числитель равен знаменателю, то дробь $ = 1 $.

2. Дополнительно можно сверить результаты расчета, используя проверку на равенство числителя и знаменателя (подстановка чисел).

Законы математической логики для неравенств

1. Для доказательства верности неравенства:

   • Необходимо проверить выполнение условия.
   • Если условие выполняется, то неравенство верно.

2. Для доказательства неверности неравенства:

   • Достаточно найти один пример, который опровергает условие.

Следуя этим теоретическим принципам, можно выполнить проверку верности указанных неравенств.