Верно ли, что:
а) $\frac{157}{289} < \frac{289}{157}$;
б) $\frac{12}{11} < \frac{345}{345}$;
в) 1% > $\frac{1}{2}$;
г) 16% = $\frac{16}{100}$?

Для подробного анализа каждого утверждения, важно рассмотреть математические свойства дробей, процентов, сравнения чисел и их преобразований. Опираясь на эти теоретические концепции, можно понять, как проводить такие сравнения.

Дроби

Дробь — это число вида $\frac{a}{b}$, где $a$ называется числителем, а $b$ — знаменателем. Дробь выражает отношение числителя к знаменателю. Например, $\frac{1}{2}$ означает, что числитель (1) составляет половину знаменателя (2).

Чтобы сравнить две дроби, можно использовать несколько методов:
1. Приведение дробей к общему знаменателю.
2. Прямое сравнение их произведений (метод перекрёстного умножения): если $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ — две дроби, то для проверки $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ достаточно проверить, верно ли $a \cdot d < b \cdot c$.

Проценты

Процент — это одна сотая часть числа. Например, 16% равно $16 \cdot \frac{1}{100} = \frac{16}{100}$. Чтобы выразить проценты в виде дроби, нужно числовое значение процента (например, 16) разделить на 100.

Сравнение дробей и целых чисел

Чтобы сравнить дробь с целым числом, можно преобразовать целое число в дробь, знаменатель которой равен 1. Например, число 5 можно записать как $\frac{5}{1}$. Тогда сравнение дробей сводится к общему методу сравнения, описанному выше.

Конкретное применение теоретических принципов к утверждениям:

(а) $\frac{157}{289} < \frac{289}{157}$

Для сравнения этих двух дробей удобно воспользоваться методом перекрёстного умножения:
− Вычислить $157 \cdot 157$ и $289 \cdot 289$.
− Сравнить результаты.

(б) $\frac{12}{11} < \frac{345}{345}$

Дробь $\frac{345}{345}$ равна 1, так как числитель равен знаменателю. Следовательно, задача сводится к сравнению $\frac{12}{11}$ и 1. Для этого можно метод перекрёстного умножения:
− Вычислить $12 \cdot 1$ и $11 \cdot 1$.
− Сравнить результаты.

(в) $1\% > \frac{1}{2}$

1% в виде дроби записывается как $\frac{1}{100}$. Чтобы сравнить $\frac{1}{100}$ и $\frac{1}{2}$, можно привести дроби к общему знаменателю (например, 100):
− Выразить $\frac{1}{2}$ в виде дроби со знаменателем 100 и сравнить числители.

(г) $16\% = \frac{16}{100}$

По определению процента, $16\%$ означает $\frac{16}{100}$. Для проверки равенства достаточно записать $16\%$ в виде дроби.

Эти теоретические шаги позволяют решить задачу, правильно сравнив дроби и проценты.