Найди значения разностей:
$2 - \frac{1}{4}$
$7 - \frac{5}{12}$
$8 - 2\frac{1}{7}$
$4 - 3\frac{5}{9}$
$3\frac{1}{5} - 1\frac{4}{5}$
$6\frac{1}{8} - 2\frac{3}{8}$
$4\frac{5}{11} - 3\frac{9}{11}$
$8\frac{4}{13} - 5\frac{8}{13}$

Для решения задачи на нахождение разности между числами, содержащими дроби и смешанные числа, необходимо понимать основные свойства и правила работы с дробями. Давайте разберём теоретическую часть, которая поможет справиться с подобными задачами.

1. Основные понятия дробей:

• Обыкновенная дробь состоит из числителя (верхнего числа) и знаменателя (нижнего числа). Например, дробь $ \frac{1}{4} $ означает одну из четырёх равных частей целого.
• Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $ 2\frac{1}{7} $ включает целую часть $ 2 $ и дробную часть $ \frac{1}{7} $.

2. Правило работы с дробями с одинаковыми знаменателями:

Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, вычесть одну дробь из другой можно путём вычитания числителей, при этом знаменатель остаётся неизменным. Формула:

$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b} $$

Пример: $ \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5 - 3}{12} = \frac{2}{12} $.

3. Приведение дробей к общему знаменателю:

Если дроби имеют разные знаменатели, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. После приведения дробей к общему знаменателю выполняется вычитание числителей, знаменатель остаётся неизменным.

Пример:
− Даны дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{2} $.
− Общий знаменатель для 4 и 2 — это 4.
− Приведение: $ \frac{1}{4} $ остаётся $ \frac{1}{4} $, а $ \frac{1}{2} $ превращается в $ \frac{2}{4} $.
− Вычитание: $ \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $.

4. Работа со смешанными числами:

Чтобы вычесть смешанные числа, можно разложить их на целую часть и дробную часть, а затем выполнить вычитание отдельно для целой и дробной частей.

Шаги:
1. Вычесть целую часть одного числа из целой части другого числа.
2. Вычесть дробную часть одного числа из дробной части другого числа.
3. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно брать в долг единицу из целой части, а затем преобразовать её в дробь с тем же знаменателем.

Пример:
− Вычитаем $ 3\frac{1}{5} $ и $ 1\frac{4}{5} $:
− Целая часть: $ 3 - 1 = 2 $.
− Дробная часть: $ \frac{1}{5} - \frac{4}{5} $. Здесь $ \frac{1}{5} $ меньше $ \frac{4}{5} $, поэтому берём в долг 1 единицу из целой части, которая преобразуется в $ \frac{5}{5} $: $ \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} $.
− Теперь дробную часть можно вычитать: $ \frac{6}{5} - \frac{4}{5} = \frac{2}{5} $.
− Ответ: $ 2\frac{2}{5} $.

5. Упрощение дробей:

После выполнения вычитания дробей может получиться дробь, которая не является несократимой (то есть числитель и знаменатель имеют общий делитель). В этом случае дробь следует упростить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель.

Пример:
− Получена дробь $ \frac{6}{12} $.
− Общий делитель числителя и знаменателя: 6.
− Упрощение: $ \frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} $.

6. Проверка результата:

После выполнения всех вычислений важно проверить результат ещё раз, чтобы убедиться, что дроби приведены к правильному знаменателю, а все операции выполнены верно.

Применяя эти правила и шаги, можно решать задачи на вычитание дробей и смешанных чисел как в простых, так и в сложных случаях.