Сколько различных произведений, кратных 10, можно образовать из множества множителей 2, 3, 5, 7, 9 (каждый множитель можно использовать только один раз, порядок множителей не принимается во внимание)?

Для решения задачи необходимо понять, какие произведения, составленные из множителей, будут кратны 10.

Чтобы число было кратно 10, оно должно одновременно быть кратно 2 и кратно 5, поскольку 10 является произведением этих двух чисел: $ 10 = 2 \times 5 $. Это ключевое условие.

1. Условие кратности 10

Для того чтобы произведение множителей, взятых из множества $\{2, 3, 5, 7, 9\}$, было кратно 10, оно должно включать в себя:
− хотя бы один множитель кратный 2 (в данном случае это число 2);
− хотя бы один множитель кратный 5 (в данном случае это число 5).

Если в произведении отсутствует хотя бы один из этих множителей, то произведение не будет кратным 10.

2. Множество множителей

В задаче имеются следующие множители: $\{2, 3, 5, 7, 9\}$. Рассмотрим свойства каждого из них:
− 2 — число чётное, кратное 2.
− 3 — число нечётное, не кратное ни 2, ни 5.
− 5 — число нечётное, кратное 5.
− 7 — число нечётное, не кратное ни 2, ни 5.
− 9 — число нечётное, не кратное ни 2, ни 5 (кратно 3).

3. Формирование произведений

Из множества $\{2, 3, 5, 7, 9\}$ нужно выбрать подмножества множителей, которые образуют произведения кратные 10. При этом:
− Каждый множитель можно использовать только один раз.
− Порядок множителей не учитывается.

Чтобы произведение было кратно 10, в любом выбранном подмножестве должны одновременно присутствовать множители 2 и 5. Остальные элементы множества ($3, 7, 9$) могут быть либо включены, либо не включены в подмножество. Это зависит от того, какие комбинации мы составляем.

4. Число возможных комбинаций

После включения множителей $2$ и $5$ в произведение (чтобы оно было кратно 10), остаётся три возможных множителя ($3, 7, 9$), которые можно либо включить в произведение, либо не включить. Таким образом, каждая из оставшихся чисел ($3, 7, 9$) имеет два состояния:
− включено в подмножество;
− не включено в подмножество.

Общее число различных комбинаций из множителей $3, 7, 9$ определяется количеством их возможных состояний. Например, если есть три множителя, и каждый из них может быть включён или не включён, то общее число комбинаций равно $2^3 = 8$.

5. Проверка условий

Все эти комбинации будут включать числа $2$ и $5$ для выполнения условия кратности 10. Поэтому каждое из этих 8 подмножеств будет соответствовать различному произведению, кратному 10.

Подсказка

Важно учитывать, что разные комбинации множителей ($2, 5, 3, 7, 9$) приводят к разным произведениям. Если в задаче требуется только подсчитать количество таких произведений, то необходимо лишь учесть упомянутые выше принципы.