Задача армянского ученого Анания Ширакаци (VII век н.э.).
"Один купец прошел через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было вначале у купца?"

Для решения данной задачи нужно использовать метод обратных вычислений. Это позволяет восстановить изначальную сумму денег, которую имел купец, начиная от известного остатка, который у него остался после прохождения всех городов.

1. Анализ условий задачи

Купец начал путешествие с определённой суммой денег. В каждом городе он отдавал пошлину, которая составляла половину и треть от оставшейся суммы. После оплаты пошлины оставшаяся сумма становилась новой начальной суммой для следующего города. После прохождения через три города у купца осталось 11 денежков.

Важно понять, что:
− В каждом городе купец теряет часть денег, которая равна сумме двух долей: половины и трети от оставшейся суммы.
− Остаток после оплаты пошлины в каждом городе становится "новой суммой" для следующего города.
− Мы знаем конечный остаток денег (11 денежных единиц) и должны определить начальный капитал купца.

2. Математическая модель

Что значит "половина и треть от оставшейся суммы"?

• Если у купца осталась сумма $ S $, пошлина, которую он платит, вычисляется как: $$ \text{Пошлина} = \frac{1}{2}S + \frac{1}{3}S $$
• Общая пошлина — это сумма двух долей: $$ \text{Пошлина} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)S $$
• Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приводим их к общему знаменателю: $$ \text{Пошлина} = \frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S = \frac{5}{6}S $$
• Таким образом, в каждом городе купец теряет $\frac{5}{6}$ от текущей суммы денег.

Остаток после оплаты пошлины:

Если до оплаты пошлины сумма денег равна $ S $, то после оплаты остаётся:
$$ \text{Остаток} = S - \text{Пошлина} $$
Подставляем значение пошлины:
$$ \text{Остаток} = S - \frac{5}{6}S $$
Вычисляем:
$$ \text{Остаток} = \frac{6}{6}S - \frac{5}{6}S = \frac{1}{6}S $$
Итак, после оплаты пошлины у купца остаётся одна шестая часть от суммы, которая была у него до оплаты.

3. Итеративный процесс обратных вычислений

Мы знаем, что после третьего города у купца осталось 11 денежных единиц. Значит, сумма, оставшаяся после третьего города, равна:
$$ \text{После третьего города: } S_3 = 11 $$
Используя информацию о "одной шестой части", мы можем вычислить сумму денег перед посещением третьего города, то есть $ S_2 $:
$$ S_2 = S_3 \cdot 6 $$
Аналогично, сумма денег перед посещением второго города:
$$ S_1 = S_2 \cdot 6 $$
Изначальная сумма денег, с которой купец начал путешествие:
$$ S_0 = S_1 \cdot 6 $$

4. Общий алгоритм расчёта

1. Начинаем с известного остатка денег после третьего города ($ S_3 = 11 $).
2. Используем обратный процесс (умножение на 6) для вычисления суммы перед третьим городом ($ S_2 $).
3. Снова применяем обратный процесс для вычисления суммы перед вторым городом ($ S_1 $).
4. Ещё раз применяем обратный процесс для получения начальной суммы ($ S_0 $).

Каждый шаг базируется на том, что остаток после оплаты пошлины в каждом городе составляет одну шестую часть от суммы до оплаты.

5. Дополнительные замечания

• Эта задача требует аккуратной работы с дробями, поскольку теряемая сумма (половина и треть) и оставшаяся сумма связаны через дробные выражения.
• Метод обратных вычислений (от конечного результата к началу) очень удобен для задач такого типа, особенно когда известен конечный результат, а нужно определить начальное значение.