Имеется по одной гире в 1 кг, 2 кг, 4 кг, 8 кг, 16 кг. Как этими гирями уравновесить груз в 26 кг? Какой груз нельзя уравновесить этими гирями?

Чтобы помочь вам теоретически подготовиться к решению задачи, давайте разберем принцип, лежащий в основе задачи, и ключевые идеи, которые помогут найти ответ.

1. Система гирь и их свойства

Гири, приведенные в задаче, имеют веса 1 кг, 2 кг, 4 кг, 8 кг и 16 кг. Обратите внимание, что веса гирь образуют последовательность степеней числа 2 (т.е. $1 = 2^0$, $2 = 2^1$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$). Это свойство позволяет использовать гирю отдельно или в комбинации с другими гирями, чтобы создать любой вес, который можно выразить в виде суммы степеней двойки.

2. Двоичная система счисления

Эта задача фактически основывается на принципе двоичной системы счисления. В двоичной системе любое число представляется как сумма степеней двойки. Например:
− Число 26 в двоичной системе записывается как $11010_2$, что означает $16 + 8 + 2 = 26$.
− Каждая цифра в двоичной записи числа (0 или 1) указывает, используется ли соответствующая степень двойки в представлении числа.

3. Гири на весах

Гири можно использовать двумя способами:
− На одной стороне весов (вместе с грузом): Если гиря добавляется к грузу, это увеличивает общий вес.
− На противоположной стороне весов: Если гиря кладется на противоположную сторону, это компенсирует часть веса груза.

Задача требует уравновесить вес груза с гирями. Это означает, что вес на одной стороне весов (груз + гири) должен быть равен весу на другой стороне (только гири).

4. Задача деления веса

Чтобы решить задачу, важно понять, как гирями можно "разделить" вес. Используя приведенные гири, можно:
− Уравновесить груз: Подобрать гири, чтобы их комбинация равнялась весу груза.
− Определить веса, которые нельзя уравновесить: Если груз нельзя выразить как сумму (+ или −) степеней двойки, его невозможно уравновесить.

5. Ключевые шаги для уравновешивания

1. Определите вес груза (например, 26 кг).
2. Запишите груз как сумму степеней двойки. Например, $26 = 16 + 8 + 2$. Каждой степени двойки соответствует гиря из набора.
3. Распределите гири по сторонам весов.
   • Если гиря лежит на стороне с грузом, она "добавляет" вес.
   • Если гиря лежит на противоположной стороне, она "вычитает" вес.
4. Проверьте, можно ли выразить вес груза. Если число не укладывается в сумму степеней двойки от 1 до 16, такой груз уравновесить нельзя.

6. Грузы, которые нельзя уравновесить

Чтобы понять, какие грузы нельзя уравновесить, нужно учесть диапазон возможных весов:
− Минимальный вес — $1$ кг (если используется только гиря 1 кг).
− Максимальный вес — $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ кг (если используются все гири на одной стороне).
− Если груз выходит за пределы диапазона $1$–$31$ кг, его нельзя уравновесить.
− Если груз нельзя представить в виде суммы степеней двойки (например, дробное число или отрицательное число), то его также невозможно уравновесить.

Теперь у вас есть вся необходимая теоретическая база для решения задачи!