а) Мотоциклист проехал до озера 126 км, а затем еще 84 км. На весь путь он затратил 5 часов. Сколько времени мотоциклист ехал до озера и сколько потом, если его скорость в пути не изменялась?
б) В одной книге 126 страниц, а в другой − 84 страницы. Толя прочитал обе книги за 5 часов. Сколько времени он читал каждую книгу, если скорость чтения его при этом не изменялась?
Что общего и что различного в этих задачах? Придумай задачи с другими величинами, имеющие такое же решение.

Для решения задач, приведенных выше, требуется знание нескольких базовых математических понятий и принципов. Давайте подробно разберем теоретическую часть, которая понадобится для их решения:

1. Связь между величинами: путь, скорость, время

В задачах на движение и выполнение работы используется фундаментальная формула, связывающая три величины: путь, скорость и время. Эта формула выглядит следующим образом:
$$ v = \frac{s}{t} \quad \text{или} \quad s = v \cdot t \quad \text{или} \quad t = \frac{s}{v}, $$
где:
− $ v $ — скорость (в одном направлении или скорость выполнения задачи),
− $ s $ — пройденный путь или объем выполненной работы,
− $ t $ — время движения или время выполнения задачи.

Если скорость остаётся неизменной, то пропорциональная зависимость между пройденным путём (или выполненной работой) и временем сохраняется.

2. Пропорции и деление времени на части

Когда известно, что скорость постоянна, то время, затраченное на разные части пути или задачи, зависит только от выполненного объёма (пути или работы). Это значит, что:
− Часть времени, затраченная на выполнение первой части пути (или работы), относится к общей затрате времени так же, как первая часть пути (или работы) относится ко всему выполненному объёму.

Существует следующая пропорция:
$$ \frac{t_1}{t_{\text{общ}}} = \frac{s_1}{s_{\text{общ}}}, $$
где:
− $ t_1 $ — время, затраченное на выполнение первой части (или на первую книгу),
− $ t_{\text{общ}} $ — общее время,
− $ s_1 $ — длина первой части пути (или объём работы первой книги),
− $ s_{\text{общ}} $ — общий объём пути или выполненной работы.

3. Общий алгоритм решения подобных задач

1. Найдите общий объём работы или общий путь ($ s_{\text{общ}} $).
2. Вычислите пропорцию для каждой части пути или работы: $$ \frac{s_1}{s_{\text{общ}}} \quad \text{и} \quad \frac{s_2}{s_{\text{общ}}}, $$ где $ s_1 $ и $ s_2 $ — объёмы первой и второй части пути (или работы).
3. Умножьте пропорцию для каждой части на общее время $ t_{\text{общ}} $, чтобы найти время, затраченное на каждую часть: $$ t_1 = t_{\text{общ}} \cdot \frac{s_1}{s_{\text{общ}}}, $$ $$ t_2 = t_{\text{общ}} \cdot \frac{s_2}{s_{\text{общ}}}. $$

4. Примеры задач с другими величинами

Вот несколько аналогичных задач, которые можно решить с использованием того же подхода:

1. Задача на выполнение работы:
   Два рабочих покрасили 126 квадратных метров стены, а затем ещё 84 квадратных метра. На весь процесс они потратили 5 часов. Сколько времени потребовалось на первую часть работы и сколько на вторую, если скорость краски у рабочих постоянна?

2. Задача на сбор урожая:
   Фермер собрал 126 кг яблок с одного участка и 84 кг с другого. На сбор всех яблок он потратил 5 часов. Сколько времени он собирал яблоки на первом участке и сколько на втором, если скорость сбора яблок постоянна?

3. Задача на выполнение задания:
   Марина решила 126 задач по математике, а затем 84 задачи по русскому языку. На выполнение всего задания ей потребовалось 5 часов. Сколько времени она потратила на математику и сколько на русский язык, если скорость решения задач у неё была постоянной?

4. Задача на чтение:
   Петя прочитал первую книгу, состоящую из 126 страниц, а затем вторую книгу — 84 страницы. На чтение обеих книг он потратил 5 часов. Сколько времени он читал первую книгу и сколько — вторую, если его скорость чтения постоянна?

5. Сравнение задач

Общее в задачах:
− В обеих задачах скорость выполнения работы или движения постоянна.
− Объём работы (или длина пути) делится на две части.
− Задачи требуют расчёта времени, затраченного на каждую часть работы или пути.

Различия:
− В первой задаче речь идёт о движении (километры и скорость движения), а во второй — о чтении (страницы и скорость чтения).
− Тип используемых величин (в первой задаче — путь, скорость, время; во второй — объём работы, скорость выполнения работы, время).

Эти различия не влияют на подход к решению, поскольку модель расчёта (пропорции) остаётся одинаковой.