С одной станции одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда. Скорость одного из них 56 км/ч, а скорость другого составляет $\frac{7}{8}$ скорости первого поезда. Через сколько времени расстояние между ними станет равно 420 км?

Для решения данной задачи необходимо применить знания о движении, скоростях и времени, опираясь на следующие основные понятия и формулы.

Основные понятия и формулы

1. Скорость − это величина, которая показывает, какое расстояние преодолевает объект за единицу времени. Обозначается как $v$ и измеряется в километрах в час ($км/ч$) или метрах в секунду ($м/с$).

2. Расстояние − это величина, обозначающая длину пути, который прошел объект. Обозначается как $S$ и измеряется в километрах ($км$) или метрах ($м$).

3. Время − это величина, показывающая продолжительность движения. Обозначается как $t$ и измеряется в часах ($ч$) или секундах ($с$).

4. Связь между скоростью, временем и расстоянием выражается формулой:
   $$ S = v \cdot t $$
   где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

Если нужно найти время ($t$):
$$ t = \frac{S}{v} $$
Если нужно найти скорость ($v$):
$$ v = \frac{S}{t} $$

Моделирование задачи

1. Исходные данные:

   • Скорость первого поезда $v_1 = 56 \, км/ч$.
   • Скорость второго поезда $v_2 = \frac{7}{8} \cdot v_1$.
   • Расстояние между поездами $S = 420 \, км$.
   • Время ($t$) — величина, которую нужно найти.

2. Движение в противоположных направлениях:
   Когда два объекта движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются, так как они удаляются друг от друга. Суммарная скорость:
   $$ v_{\text{общая}} = v_1 + v_2 $$

3. Вычисление скорости второго поезда ($v_2$):
   Скорость второго поезда связана с первым через пропорцию:
   $$ v_2 = \frac{7}{8} \cdot v_1 $$

4. Расстояние, время и скорость:
   Когда известно расстояние между двумя объектами ($S$) и их суммарная скорость ($v_{\text{общая}}$), время $t$ может быть найдено по формуле:
   $$ t = \frac{S}{v_{\text{общая}}} $$

Порядок действий

1. Подставьте значение $v_1 = 56 \, км/ч$ в формулу для $v_2$ и вычислите скорость второго поезда.
2. Найдите $v_{\text{общая}}$ как сумму скоростей $v_1$ и $v_2$.
3. Подставьте значения $S = 420 \, км$ и $v_{\text{общая}}$ в формулу для времени: $$ t = \frac{S}{v_{\text{общая}}} $$
4. Это даст значение времени $t$, через которое расстояние между поездами станет 420 км.

Замечания

• Все расчеты должны быть выполнены в одной системе единиц (в данном случае $км$ и $ч$).
• Задача предполагает равномерное движение поездов, то есть их скорости остаются постоянными.