Одновременно навстречу друг другу вышли два поезда: из Москвы − товарный, а из Санкт−Петербурга − пассажирский. Скорость пассажирского поезда был в 2 раза больше, чем скорость товарного. На каком расстоянии от Москвы встретятся поезда, если считать, что расстояние между этими городами 660 км?

Для решения задачи нам нужно использовать основные понятия движения, скорости, времени и расстояния. Давайте разберем все теоретические аспекты, которые помогут в решении задачи.

Основные формулы движения

1. Формула связи между расстоянием, скоростью и временем:
   $$ S = V \cdot t $$
   где:

   • $S$ — расстояние, пройденное объектом;
   • $V$ — скорость объекта;
   • $t$ — время движения.

2. Взаимосвязь между указанными величинами:
   $$ V = \frac{S}{t}, \quad t = \frac{S}{V}. $$

Задача о встречных движениях

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорости складываются, так как они движутся в противоположных направлениях. Время до их встречи одно и то же для обоих объектов, так как они начинают движение одновременно.

Формула для встречного движения:
$$ S_{\text{общ}} = S_1 + S_2, $$
где:
− $S_{\text{общ}}$ — общее расстояние между объектами;
− $S_1$ и $S_2$ — расстояния, пройденные каждым из объектов.

Так как $S_1 = V_1 \cdot t$ и $S_2 = V_2 \cdot t$, можно переписать:
$$ S_{\text{общ}} = (V_1 + V_2) \cdot t. $$
Отсюда можно найти время до встречи:
$$ t = \frac{S_{\text{общ}}}{V_1 + V_2}. $$

После нахождения времени $t$ можно вычислить расстояния, которые прошел каждый объект:
$$ S_1 = V_1 \cdot t, \quad S_2 = V_2 \cdot t. $$

Условие задачи

• Расстояние между Москвой и Санкт−Петербургом: $S_{\text{общ}} = 660 \, \text{км}$.
• Скорость пассажирского поезда $V_2$ в 2 раза больше скорости товарного поезда $V_1$, то есть: $$ V_2 = 2 \cdot V_1. $$

Шаги решения

1. Обозначение скоростей:
   Пусть скорость товарного поезда равна $V_1$. Тогда скорость пассажирского поезда будет равна $V_2 = 2 \cdot V_1$.

2. Общая скорость сближения:
   Так как поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
   $$ V_{\text{общ}} = V_1 + V_2 = V_1 + 2 \cdot V_1 = 3 \cdot V_1. $$

3. Время до встречи:
   Используем формулу для времени встречи:
   $$ t = \frac{S_{\text{общ}}}{V_{\text{общ}}} = \frac{660}{3 \cdot V_1}. $$

4. Расстояние от Москвы до места встречи:
   Товарный поезд движется со скоростью $V_1$ и пройдет за время $t$ расстояние:
   $$ S_1 = V_1 \cdot t. $$
   Подставим выражение для $t$:
   $$ S_1 = V_1 \cdot \frac{660}{3 \cdot V_1}. $$

5. Проверка расстояния от Санкт−Петербурга до места встречи:
   Аналогично можно проверить, что пассажирский поезд пройдет расстояние $S_2$, равное:
   $$ S_2 = V_2 \cdot t = 2 \cdot V_1 \cdot \frac{660}{3 \cdot V_1}. $$

6. Место встречи:
   Место встречи находится на расстоянии $S_1$ от Москвы.

Итог

После выполнения всех расчетов можно найти точное расстояние от Москвы до места встречи.