Возьми прямоугольный лист бумаги. Сверни его в трубочку (рис. 1) и склей. Получился предмет, похожий на трубу. Если его с двух открытых сторон закрыть кругами, получится модель цилиндра (рис. 2).

Для решения задачи, связанной с созданием модели цилиндра из прямоугольного листа бумаги, важно понять геометрические принципы и свойства цилиндра, а также взаимосвязь между элементами прямоугольника и цилиндра.

1. Прямоугольник как основа цилиндра:

   • Прямоугольный лист бумаги, который сворачивается в трубочку, становится боковой поверхностью цилиндра.
   • Длина одной из сторон прямоугольника становится длиной окружности основания цилиндра.
   • Другая сторона прямоугольника становится высотой цилиндра.

2. Переход от прямоугольника к цилиндру:

   • Свертывание прямоугольного листа бумаги в трубочку предполагает, что одна из сторон прямоугольника "замыкается" в окружность.
   • Длина замкнутой стороны прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра. Это связано с формулой длины окружности: $$ L = 2 \pi r, $$ где $L$ — длина окружности, $r$ — радиус основания цилиндра, $\pi$ — математическая константа, примерно равная 3.14.

3. Элементы цилиндра:

   • Основания цилиндра — круги, закрывающие трубочку с двух сторон. Их радиус можно вычислить, если известна длина стороны прямоугольника, которая становится окружностью.
   • Боковая поверхность — это та часть прямоугольника, которая формирует боковую часть цилиндра. Её площадь равна площади прямоугольника: $$ A_\text{боковая} = \text{длина} \times \text{высота}. $$

4. Взаимосвязь между прямоугольником и цилиндром:

   • Если прямоугольник имеет размеры $a$ и $b$, то:
   • $a$ становится длиной окружности основания цилиндра, и радиус можно найти из формулы: $$ r = \frac{a}{2 \pi}. $$
   • $b$ становится высотой цилиндра.
   • Чтобы полностью закрыть модель цилиндра, необходимо создать две окружности с радиусом $r$ для оснований.

5. Площадь поверхности цилиндра:
   Общая площадь поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности:
   $$ A_\text{общая} = 2 \cdot A_\text{основание} + A_\text{боковая}, $$
   где:

   • $A_\text{основание} = \pi r^2$,
   • $A_\text{боковая} = a \cdot b$ (площадь прямоугольника).

6. Пропорции и геометрические свойства:

   • Если изменяются размеры прямоугольника, то изменяются и параметры цилиндра (радиус основания и высота). Это важно учитывать при создании моделей.

Таким образом, прямоугольник превращается в цилиндр за счёт геометрического преобразования, где одна сторона становится окружностью, а другая — высотой.