Денис хотел записать на кассету мультфильмы, показ которых длится 46 мин, 48 мин, 26 мин, 54 мин, 32 мин. Поместятся ли все они на 180−минутной кассете? Какие мультфильмы выгоднее записать, чтобы оставалось меньше свободного места?

Для решения задачи необходимо понимать базовые операции сложения и сравнения чисел, а также основы оптимизации, чтобы выбрать наиболее подходящий набор мультфильмов для записи на кассету. Разберёмся с теоретической частью.

1. Сложение чисел

Когда у нас есть список чисел (в данном случае длительности мультфильмов), мы можем найти их общую сумму, сложив все числа. Это даст нам общее время, которое потребуется для записи всех мультфильмов.

Например, если длительности мультфильмов — это числа $ a, b, c, d, e $, то их общая сумма будет:
$$ S = a + b + c + d + e $$
В данной задаче сумма показывает, какое время займут все мультфильмы вместе, и мы сравниваем её с вместимостью кассеты (180 минут).

2. Сравнение чисел

После нахождения суммы необходимо сравнить её с заданным ограничением — это длительность кассеты, которая составляет 180 минут. Два возможных результата сравнения:
− Если $ S \leq 180 $, то все мультфильмы поместятся на кассету.
− Если $ S > 180 $, то все мультфильмы записать на кассету нельзя, и нужно выбрать набор мультфильмов, чтобы общая длительность была не больше 180 минут.

3. Подбор мультфильмов для оптимальной записи

Если все мультфильмы не помещаются на кассету, возникает задача выбора мультфильмов так, чтобы:
− Общая длительность выбранных мультфильмов была максимально близка к 180 минутам (но не больше).
− Оставшееся свободное место на кассете было минимальным.

Для решения этой задачи необходимо использовать стратегию перебора всех возможных наборов мультфильмов. Перебор означает, что мы рассматриваем все возможные комбинации мультфильмов и для каждой рассчитываем их общую длительность. Среди всех комбинаций выбирается та, которая:
1. Не превышает длительность кассеты (180 минут).
2. Оставляет минимальное свободное место.

4. Важные математические понятия

• Сумма подмножеств: При подборе мультфильмов мы находим сумму длительности для разных групп мультфильмов. Например, для группы мультфильмов с длительностями $ a, b, c $, сумма будет $ a + b + c $.
• Оптимизация: Задача минимизации свободного места на кассете сводится к поиску такого набора мультфильмов, для которого остаток $ 180 - S_{\text{выбранных}} $ минимален.

5. Практическая методика

Для решения задачи можно действовать следующим образом:
1. Перебрать различные комбинации мультфильмов.
2. Вычислить сумму длительности мультфильмов для каждой комбинации.
3. Отобрать комбинации, сумма которых не превышает 180 минут.
4. Среди отобранных комбинаций выбрать ту, которая оставляет минимальное свободное место.

6. Проверка результата

После выбора мультфильмов необходимо получить итоговую длительность записи и сравнить её с вместимостью кассеты. Также подсчитывается количество минут, которые остались свободными:
$$ \text{Свободное место} = 180 - S_{\text{выбранных}} $$

Таким образом, теоретический подход к задаче включает:
1. Сложение длительностей мультфильмов.
2. Сравнение с вместимостью кассеты.
3. Поиск оптимального набора мультфильмов через перебор комбинаций.
4. Проверку результата и подсчёт свободного места.