Реши задачи. Сравни задачи, сравни их решения.
1) На двух опытных участках вырастили картофель. Площадь первого участка 200 $м^2$, а второго 300 $м^2$. С первого участка собрали на 1500 кг картофеля меньше, чем со второго. Сколько килограммов картофеля собрали с каждого участка, если с каждого квадратного метра собирали поровну?
2) С двух опытных участков собрали 7500 кг картофеля. Площадь первого участка 200 $м^2$, а второго 300 $м^2$. С каждого квадратного метра собирали картофеля поровну. Сколько килограммов картофеля собрали с каждого участка?

Для решения задач, предложенных в условии, важно понимать, что оба примера базируются на сходных математических принципах, связанных с понятием пропорциональности. Давайте разберем теоретические аспекты, которые помогут в подходе к их решению.

В обоих задачах ключевое утверждение состоит в том, что с каждого квадратного метра собирали одинаковое количество картофеля. Это означает, что отношение массы собранного картофеля к площади участка остаётся постоянным для всех участков. Это отношение можно записать как:

$$ k = \frac{\text{Собранный картофель (в кг)}}{\text{Площадь участка (в $м^2$)}}, $$

где $k$ — это постоянное количество килограммов картофеля, которое собирается с каждого квадратного метра.

Теоретическая основа для первой задачи

1. Дано:

   • Площадь первого участка: $200 \, м^2$,
   • Площадь второго участка: $300 \, м^2$,
   • Со второго участка собрали на $1500 \, \text{кг}$ больше картофеля, чем с первого.

2. Мы обозначим количество картофеля, собранного с каждого квадратного метра, как $k$ (в кг на $1 \, м^2$).

3. Тогда масса картофеля, собранного с первого участка, равна:
   $$ M_1 = 200 \cdot k, $$
   где $M_1$ — масса картофеля с первого участка.

4. Масса картофеля, собранного со второго участка, равна:
   $$ M_2 = 300 \cdot k, $$
   где $M_2$ — масса картофеля со второго участка.

5. Согласно условию задачи, масса картофеля со второго участка превышает массу картофеля с первого участка на $1500 \, \text{кг}$. Это можно записать в виде уравнения:
   $$ M_2 - M_1 = 1500. $$

6. Подставляя выражения для $M_1$ и $M_2$ через $k$, получаем:
   $$ (300 \cdot k) - (200 \cdot k) = 1500. $$

7. Решив это уравнение, мы сможем найти значение $k$, а затем подставить его в формулы для $M_1$ и $M_2$, чтобы узнать, сколько картофеля собрали с каждого участка.

Теоретическая основа для второй задачи

1. Дано:

   • Площадь первого участка: $200 \, м^2$,
   • Площадь второго участка: $300 \, м^2$,
   • Общая масса картофеля: $7500 \, \text{кг}$.

2. Как и в первой задаче, обозначим количество картофеля, собранного с каждого квадратного метра, как $k$ (в кг на $1 \, м^2$).

3. Тогда масса картофеля, собранного с первого участка, равна:
   $$ M_1 = 200 \cdot k. $$

4. Масса картофеля, собранного со второго участка, равна:
   $$ M_2 = 300 \cdot k. $$

5. Общая масса картофеля, собранного с двух участков, составляет $7500 \, \text{кг}$. Это можно записать в виде уравнения:
   $$ M_1 + M_2 = 7500. $$

6. Подставляя выражения для $M_1$ и $M_2$ через $k$, получаем:
   $$ (200 \cdot k) + (300 \cdot k) = 7500. $$

7. Решив это уравнение, мы найдём значение $k$, а затем, подставив его в формулы для $M_1$ и $M_2$, узнаем, сколько картофеля собрали с каждого участка.

Сравнение подходов к задачам

Обе задачи основаны на одном и том же принципе пропорциональности: количество картофеля, собранного с участка, прямо пропорционально площади участка, причём коэффициент пропорциональности ($k$) одинаков для обоих участков.

• В первой задаче дополнительным условием является разница между массами картофеля, собранного с двух участков. Это приводит нас к уравнению, связывающему разницу площадей с разницей собранного картофеля.

• Во второй задаче дополнительным условием является общая масса картофеля, собранного с двух участков. Это приводит нас к уравнению, связывающему сумму масс картофеля с общими площадями.

Таким образом, теоретическая основа обеих задач схожа, но различие в условиях (разница масс в первой задаче и общая масса во второй) приводит к построению разных уравнений.