Перед нами 5 закрытых замков и 5 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из пяти ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем − только пятым. Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы открыть все замки?

Чтобы решить задачу, нужно использовать понятие перебора всех возможных вариантов. Это называется методом полного перебора, который мы применяем в случае, если нет другой очевидной стратегии найти подходящий ключ к замку. Давайте теоретически разберем, сколько проб потребуется в худшем случае, чтобы открыть 5 замков с 5 ключами.

Теоретическая часть:

1. Замки и ключи:
   У нас имеется 5 замков и 5 ключей, причем каждый ключ подходит только к одному замку. Однако ключи смешаны, и мы не знаем заранее, какой ключ открывает какой замок.

2. Худший случай:
   В данном случае "худший случай" означает, что каждый замок будет открыт только последним из 5 возможных ключей, которые мы попробуем. То есть, для каждого замка потребуется максимальное количество попыток.

3. Перебор ключей для первого замка:
   Чтобы открыть первый замок, нам придется пробовать все 5 ключей, так как подходящий ключ может оказаться последним из них. В этом случае потребуется 5 попыток.

4. Изъятие ключа:
   Когда мы открыли первый замок, мы можем исключить использованный ключ из набора, так как он больше не понадобится. Это означает, что для второго замка у нас остаются только 4 ключа.

5. Перебор ключей для второго замка:
   Для второго замка мы снова пробуем ключи. Чтобы определить подходящий ключ, потребуется максимум 4 попытки, так как ключ может оказаться последним из оставшихся.

6. Переход к следующему замку:
   После открытия второго замка, мы исключаем второй использованный ключ. Теперь для третьего замка остаются только 3 ключа.

7. Перебор ключей для третьего замка:
   Для третьего замка потребуется максимум 3 попытки, так как ключ может оказаться последним из оставшихся.

8. Перебор ключей для четвертого замка:
   Для четвертого замка потребуется максимум 2 попытки, так как ключ может оказаться последним из оставшихся.

9. Перебор ключей для пятого замка:
   Для пятого замка останется только 1 ключ, который точно подойдет. Следовательно, потребуется всего 1 попытка.

10. Суммирование всех попыток:
    В худшем случае количество попыток для открытия всех замков — это сумма всех попыток: $ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 $.

11. Общее правило для перебора замков:
    Если есть $ n $ замков и $ n $ ключей, то в худшем случае потребуется:
    $$ n + (n-1) + (n-2) + \dots + 1 $$
    Это сумма первых $ n $ натуральных чисел, которая вычисляется по формуле:
    $$ \text{Сумма} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} $$

12. Применение формулы для 5 замков:
    В задаче $ n = 5 $, поэтому:
    $$ \text{Сумма} = \frac{5 \cdot (5 + 1)}{2} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 $$

Таким образом, в худшем случае потребуется 15 попыток, чтобы открыть все замки.