Три купчихи − Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна − сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоем 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна − 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна − 14. Сколько чашек чаю выпили три купчихи вместе? Сколько чашек чаю выпила каждая купчиха?

Перед тем как приступать к решению задачи, важно понять и разложить её на составляющие, используя математические знания и логический подход. Давайте разберём теоретическую часть подробно.

1. Переменные: Для упрощения работы с задачей, введём обозначения для количества выпитых чашек чая каждой купчихой:
2. Пусть $ x $ — количество чашек чая, выпитых Сосипатрой Титовной.
3. $ y $ — количество чашек чая, выпитых Олимпиадой Карповной.

4. $ z $ — количество чашек чая, выпитых Поликсеной Уваровной.

5. Система уравнений:
   В задаче даётся информация о количестве чашек чая, выпитых вдвоём разными купчихами:

6. Сосипатра Титовна и Олимпиада Карповна выпили вместе 11 чашек: $ x + y = 11 $.

7. Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна выпили вместе 15 чашек: $ y + z = 15 $.

8. Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна выпили вместе 14 чашек: $ x + z = 14 $.

Таким образом, у нас сформировалась система из трёх линейных уравнений:
$$ x + y = 11, $$
$$ y + z = 15, $$
$$ x + z = 14. $$

1. Сумма чашек, выпитых всеми купчихами:
   Чтобы найти общее количество чашек, выпитое всеми купчихами, нужно сложить все три уравнения:
   $$ (x + y) + (y + z) + (x + z) = 11 + 15 + 14. $$
   При этом каждая переменная $ x $, $ y $, $ z $ появляется дважды в сумме:
   $$ 2x + 2y + 2z = 40. $$
   Сократив на 2, получаем:
   $$ x + y + z = 20. $$
   Это и есть общее количество чашек, выпитое всеми купчихами.

2. Решение системы уравнений:
   Чтобы найти количество чашек, выпитых каждой купчихой, нужно решить систему уравнений:
   $$ x + y = 11, $$
   $$ y + z = 15, $$
   $$ x + z = 14. $$
   Для решения можно использовать метод сложения, подстановки или выразить одну переменную через другую. Например:

3. Из первого уравнения выразить $ x $ через $ y $: $ x = 11 - y $.

4. Подставить $ x = 11 - y $ во второе и третье уравнения, чтобы исключить $ x $.

5. Аналогично выразить другие переменные и найти их значения.

6. Проверка:
   После нахождения конкретных значений для $ x $, $ y $, $ z $, необходимо проверить, удовлетворяют ли они всем трём исходным уравнениям.

Каждая купчиха выпила определённое количество чашек. Для проверки корректности решения важно убедиться, что эти значения действительно дают верные суммы для всех пар.

Итак, теоретическая часть завершена, и подготовлена основа для успешного решения задачи.