Два поезда отправились одновременно навстречу друг другу из двух городов. Скорость первого поезда 85 км/ч, а скорость второго 60 км/ч. Через 3 ч после отправления расстояние между поездами было равно 290 км. Найди расстояние между этими городами. Через сколько часов после отправления поезда встретятся?

Для анализа задачи, в которой два объекта (в данном случае поезда) движутся навстречу друг другу, важно разобрать её пошагово, опираясь на ключевые математические понятия и формулы.

1. Скорость, расстояние и время
В задачах на движение используются три взаимосвязанные величины:
− Скорость ($v$) — это расстояние, пройденное объектом за единицу времени. Измеряется, например, в километрах в час ($ \text{км/ч}$).
− Расстояние ($s$) — это длина пути, пройденного объектом за определённое время. Измеряется в километрах ($ \text{км}$).
− Время ($t$) — это продолжительность движения объекта. Измеряется в часах ($ \text{ч}$).

Эти величины связаны формулой:

$$ s = v \cdot t $$

Здесь:
− $s$ — расстояние,
− $v$ — скорость,
− $t$ — время.

2. Ситуация задачи
Задача описывает движение двух поездов с разными скоростями. Они движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются, чтобы определить, как быстро уменьшается расстояние между ними.

Если два объекта движутся навстречу друг другу:
− Суммарная скорость сближения ($v_\text{сум}$) равна сумме их индивидуальных скоростей:
$$ v_\text{сум} = v_1 + v_2 $$

В данном случае:
− $v_1 = 85 \, \text{км/ч}$ — скорость первого поезда,
− $v_2 = 60 \, \text{км/ч}$ — скорость второго поезда,
− $v_\text{сум} = 85 + 60 = 145 \, \text{км/ч}$.

3. Анализ первой части задачи
Через 3 часа после отправления поездов расстояние между ними равняется 290 км. Значит, за эти 3 часа они уже сократили часть начального расстояния между городами.

Суммарное расстояние, которое они прошли за 3 часа ($s_\text{пройденное}$), можно рассчитать по формуле:
$$ s_\text{пройденное} = v_\text{сум} \cdot t $$

Здесь:
− $v_\text{сум} = 145 \, \text{км/ч}$,
− $t = 3 \, \text{ч}$.

Таким образом, расстояние между городами состоит из двух частей:
1. Дистанция, которую они прошли за 3 часа ($s_\text{пройденное}$).
2. Оставшееся расстояние между ними через 3 часа ($s_\text{остаток} = 290 \, \text{км}$).

Общее расстояние между городами — это сумма этих двух частей:
$$ s_\text{городов} = s_\text{пройденное} + s_\text{остаток} $$

4. Вторая часть задачи: время встречи
Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, нужно учитывать их суммарную скорость сближения ($v_\text{сум} = 145 \, \text{км/ч}$) и общее расстояние между городами ($s_\text{городов}$).

Когда поезда встречаются, расстояние между ними становится равным нулю. Время до встречи ($t_\text{встреча}$) можно определить из формулы:
$$ t_\text{встреча} = \frac{s_\text{городов}}{v_\text{сум}} $$

Здесь:
− $s_\text{городов}$ — общее расстояние между городами,
− $v_\text{сум}$ — суммарная скорость поездов.

5. Итоговые шаги решения задачи
Чтобы полностью решить задачу, нужно:
1. Рассчитать расстояние, которое поезда прошли за первые 3 часа ($s_\text{пройденное}$).
2. Добавить к этому расстоянию оставшуюся часть ($s_\text{остаток} = 290 \, \text{км}$) для нахождения общего расстояния между городами.
3. Использовать общее расстояние между городами ($s_\text{городов}$) и суммарную скорость поездов ($v_\text{сум}$) для определения времени их встречи ($t_\text{встреча}$).