Задумали число. При делении его на 25 получился остаток 10. Число увеличили в 2 раза. Какой теперь получится остаток при делении его на 25?

Для решения этой задачи нужно понимать несколько ключевых понятий и свойств, связанных с делением и остатками. Давайте подробно разберем теоретические основы, которые помогут нам решить задачу.

1. Деление с остатком

Когда одно число делится на другое, результат может не быть целым числом. В таких случаях мы говорим о делении с остатком, которое записывается следующим образом:

$$ a = b \cdot q + r, $$

где:
− $ a $ — делимое (число, которое делим),
− $ b $ — делитель (число, на которое делим),
− $ q $ — целая часть от результата деления (частное),
− $ r $ — остаток, который остается после деления.

Остаток $ r $ всегда меньше делителя $ b $. То есть:
$$ 0 \leq r < b. $$

2. Остаток при делении на число

Остаток при делении показывает, какую часть числа нельзя разделить нацело. Например, при делении числа 37 на 10 получится частное $ q = 3 $, так как $ 3 \cdot 10 = 30 $, а остаток $ r = 7 $, так как $ 37 - 30 = 7 $.

3. Свойства остатка

Остатки обладают рядом полезных свойств, которые помогают решать задачи. Вот несколько важных из них:

a. Свойство суммы
Если два числа $ a $ и $ b $ делятся на одно и то же число $ n $, то остаток от их суммы также можно найти, сложив их остатки:
$$ (a + b) \mod n = \left((a \mod n) + (b \mod n)\right) \mod n. $$
Это означает, что при добавлении двух чисел их остатки тоже складываются, но если сумма остатков превышает делитель $ n $, нужно снова найти остаток от деления на $ n $.

b. Свойство умножения
Если два числа $ a $ и $ b $ делятся на одно и то же число $ n $, то остаток от их произведения можно найти, перемножив их остатки:
$$ (a \cdot b) \mod n = \left((a \mod n) \cdot (b \mod n)\right) \mod n. $$
Это означает, что при умножении числа на какое−либо значение остаток изменяется согласно этому правилу.

4. Анализ задачи

Задача говорит о том, что при делении некоторого числа на 25 остаток равен 10. Это можно записать как:
$$ x = 25 \cdot q + 10, $$
где $ q $ — целая часть от деления числа $ x $ на 25.

Далее сказано, что число $ x $ увеличивается в 2 раза. Это означает, что новое число будет равно:
$$ 2x. $$

Теперь нужно найти остаток при делении нового числа $ 2x $ на 25. Здесь полезно использовать свойства, которые мы описали выше, особенно свойство умножения.

5. Применение теории

Когда число увеличивается в 2 раза, его остаток при делении также изменяется. Остаток нового числа $ 2x $ может быть вычислен с помощью свойства умножения, а именно:
$$ (2 \cdot x) \mod 25 = \left(2 \cdot (x \mod 25)\right) \mod 25. $$

Таким образом, остаток нового числа будет зависеть от удвоенного остатка исходного числа $ x $.

Используя эти принципы и свойства, можно легко найти остаток после увеличения числа в 2 раза.