Из двенадцати одинаковых кубиков с ребром длиной 5 см сложили фигуру в форме параллелепипеда, как показано на рисунке.

Эту фигуру покрасили со всех сторон синей краской. Какую площадь покрасили?

Для решения задачи необходимо применить знания о геометрических фигурах, площади поверхности и свойств куба и прямоугольного параллелепипеда. Разберем теоретическую часть, чтобы понять, как подойти к решению.

1. Куб и его свойства Куб — это правильный многогранник, у которого все грани являются квадратами и все ребра равны по длине. Если длина ребра куба равна $a$, то:
   • Площадь одной грани куба: $a^2$.
   • Площадь всей поверхности куба (всего 6 граней): $6 \cdot a^2$.
   • Объем куба: $a^3$.

В данном случае длина ребра одного кубика равна 5 см. Поэтому площадь одной грани кубика равна $5 \cdot 5 = 25 \, \text{см}^2$, а площадь поверхности одного кубика — $6 \cdot 25 = 150 \, \text{см}^2$.

1. Прямоугольный параллелепипед и его свойства
   Прямоугольный параллелепипед — это фигура, состоящая из шести прямоугольников, где противоположные стороны равны. Если длина, ширина и высота параллелепипеда равны $a$, $b$, и $c$, то:

   • Площадь поверхности параллелепипеда: $2 \cdot (ab + bc + ac)$.
   • Объем параллелепипеда: $a \cdot b \cdot c$.

2. Анализ задачи
   В задаче из одинаковых кубиков сложили фигуру в форме параллелепипеда. Кубики соединены так, что образуют новую фигуру, и её некоторые грани покрыты другими кубиками, следовательно, не вся поверхность параллелепипеда оказывается окрашенной.

Чтобы решить задачу, нужно:
− Определить размеры получившегося параллелепипеда.
− Вычислить площадь поверхности параллелепипеда.
− Учитывать, что внутренние грани кубиков, которые соприкасаются друг с другом, не красятся.

1. Методика вычислений

   • Шаг 1: Выяснить, сколько кубиков расположено вдоль каждой стороны параллелепипеда. Это позволит определить его длину, ширину и высоту.
   • Шаг 2: Вычислить площадь наружных граней параллелепипеда.
   • Шаг 3: Учесть внутренние грани, которые не красятся.

2. Площадь наружной поверхности
   Площадь окрашенной поверхности параллелепипеда будет равна площади наружных граней. Для этого нужно исключить те грани кубиков, которые оказались внутри фигуры.

3. Формула для решения
   Если известны размеры параллелепипеда (длина, ширина, высота) и количество кубиков, площадь окрашенной поверхности можно вычислить следующим образом:

   • Найти площадь поверхности параллелепипеда.
   • Вычесть площадь внутренних граней кубиков, которые не покрасили.
   • Сложить площади всех покрашенных граней.

4. Учёт особенностей окрашивания
   Каждый кубик имеет 6 граней, но в сложенной фигуре часть граней скрыта. Окрашиваются только те грани, которые находятся на наружной поверхности параллелепипеда. Чтобы точно понять, какие грани покрашены, нужно изучить расположение кубиков внутри фигуры.

Теперь можно использовать эту теоретическую основу для решения задачи.