Начерти в тетради любую окружность. Проведи ее диаметр, обозначь его AB и отметь на окружности любую точку C. Верно ли, что угол ACB прямой?

Для решения данной задачи необходимо подробно разобраться с основными теоретическими понятиями и свойствами окружности, диаметра, углов и вписанного угла.

1. Окружность и ее элементы:

   • Окружность – это геометрическая фигура, множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром окружности.
   • Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Длина радиуса одинаковая для всех точек окружности.
   • Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две точки на окружности. Диаметр равен удвоенному радиусу (d = 2r).

2. Точка на окружности и углы:

   • Любая точка на окружности, такая как точка $C$ в задаче, находится на одинаковом расстоянии от центра окружности.
   • Угол $ACB$, который нужно изучить, является вписанным углом. Это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность в двух других точках.

3. Диаметр как основание вписанного угла:

   • В геометрии существует важное свойство вписанных углов, опирающихся на диаметр. Если две точки на окружности соединены диаметром, то любые две точки на окружности, соединенные с концами диаметра, будут образовывать треугольник, а угол у вершины между этими двумя точками будет прямым.

4. Свойства вписанного угла:

   • Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это свойство можно записать в виде формулы: $$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB, $$ где $O$ – центр окружности, а $\angle AOB$ – центральный угол, опирающийся на дугу $AB$.
   • Если $AB$ – диаметр, то центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, равен $180^\circ$ (развернутый угол, так как он "натянут" на весь диаметр). Тогда вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, вычисляется как: $$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ. $$ Следовательно, любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$, то есть является прямым.

5. Выводы для задачи:

   • Диаметр $AB$ делит окружность на две равные части (полукруга).
   • Точка $C$, находящаяся на окружности, определяет треугольник $ACB$, где стороны $AC$ и $BC$ соединяют вершину $C$ с концами диаметра $A$ и $B$.
   • Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$. Согласно вышеуказанным теоретическим свойствам, этот угол всегда будет равен $90^\circ$, независимо от положения точки $C$.