Сколько всего существует трехзначных чисел, сумма цифр в записи которых равна 2? 3? 4? Составь и запиши эти числа.

Для решения задачи требуется выяснить, сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна заданным значениям (2, 3, 4), и записать все такие числа. Теоретическая часть для решения задачи включает несколько важных шагов:

1. Определение трёхзначного числа
   Трёхзначное число — это число, которое записывается с помощью трёх цифр и находится в диапазоне от 100 до 999 включительно.
   Трёхзначное число можно представить в виде трёх цифр:

   • $ a $ — первая цифра (сотни),
   • $ b $ — вторая цифра (десятки),
   • $ c $ — третья цифра (единицы). Условия:
   • $ a $ ≠ 0 (так как число должно быть трёхзначным),
   • $ b $ и $ c $ могут принимать значения от 0 до 9.

2. Условие на сумму цифр
   Сумма цифр трёхзначного числа равна $ S $:
   $$ a + b + c = S. $$
   В задаче нужно найти все такие трёхзначные числа, где $ S = 2 $, $ S = 3 $, и $ S = 4 $.

3. Перебор возможных значений $ a, b, c $
   Для выполнения условия $ a + b + c = S $:

   • $ a $ — первая цифра (сотни) должна быть как минимум 1, так как $ a \neq 0 $.
   • $ b $ и $ c $ могут быть любыми цифрами от 0 до 9, но их значения ограничиваются тем, чтобы $ a + b + c = S $.

4. Алгоритм поиска подходящих чисел
   Шаги для поиска трёхзначных чисел:

   • Зафиксировать значение $ S $ (2, 3 или 4).
   • Перебрать все возможные значения $ a $ от 1 до $ S $ (так как $ a \geq 1 $).
   • Для каждого значения $ a $, вычислить оставшуюся сумму для $ b + c $: $$ b + c = S - a. $$
   • Перебрать все пары $ b $ и $ c $, где $ b $ и $ c $ — цифры (от 0 до 9), и проверить, чтобы сумма $ b + c $ соответствовала $ S - a $.
   • Для каждой подходящей тройки $ (a, b, c) $, составить трёхзначное число $ 100a + 10b + c $.

5. Проверка границ цифр

   • Каждая цифра $ a, b, c $ должна быть в диапазоне от 0 до 9.
   • Особенно важно учитывать, что $ a \geq 1 $ (трёхзначное число).

6. Метод систематического подхода
   Чтобы быть уверенным, что все числа найдены, важно использовать систематический перебор всех возможных комбинаций. Например:

   • Для одного значения $ S $, сначала проверить все комбинации, где $ a = 1 $, затем где $ a = 2 $, и так далее.
   • Для каждого фиксированного $ a $, рассмотреть все пары $ (b, c) $, которые дают $ b + c = S - a $.

7. Пример объяснения на конкретном $ S $
   Если $ S = 2 $:

   • $ a $ может быть только 1 или 2 (так как $ a \geq 1 $).
   • Если $ a = 1 $, то $ b + c = 2 - 1 = 1 $.
   • Возможные пары для $ (b, c) $ — $ (0, 1) $ и $ (1, 0) $.
   • Если $ a = 2 $, то $ b + c = 2 - 2 = 0 $.
   • Единственная пара: $ (b, c) = (0, 0) $.
   • Таким образом, трёхзначные числа для $ S = 2 $: 110, 101, 200.

Эта теоретическая основа пригодна для выполнения задания для любого значения $ S $. Следует применить её к каждому из случаев $ S = 2 $, $ S = 3 $, $ S = 4 $, чтобы найти все подходящие трёхзначные числа.