Начерти прямоугольник ABCD, длина которого равна 6 см, а ширина − 2 см. Проведите в нем диагонали и обозначь точку их пересечения буквой О. Начерти окружность с центром в точке O и радиусом OA. Что можно заметить?

Для решения данной задачи нужно вспомнить основные теоретические положения о прямоугольниках, диагоналях и окружностях, а также о понятиях центра и радиуса окружности. Разберем их по порядку.

1. Прямоугольник и его свойства:

   • Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (90 градусов).
   • У прямоугольника противоположные стороны равны. Если длина прямоугольника равна $6$ см, а ширина — $2$ см, то две противоположные стороны будут длиной $6$ см, а две другие — длиной $2$ см.
   • Диагонали прямоугольника равны по длине и пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам.

2. Диагонали прямоугольника:

   • Диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника.
   • В прямоугольнике диагонали пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой диагонали.
   • Чтобы найти длину диагонали прямоугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника, стороны которого равны длине и ширине прямоугольника. Формула для длины диагонали: $$ d = \sqrt{a^2 + b^2}, $$ где $a$ — длина, $b$ — ширина прямоугольника.

3. Точка пересечения диагоналей:

   • Обозначим точки пересечения диагоналей буквой $O$.
   • Точка $O$ является центром прямоугольника. Она делит каждую диагональ на две равные части.

4. Окружность и её элементы:

   • Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от её центра.
   • Центр окружности — точка, от которой все точки окружности расположены на одинаковом расстоянии.
   • Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой её точки. Радиус обозначается буквой $r$.
   • Если окружность имеет центр в точке $O$, то радиус окружности будет равен длине отрезка $OA$ (или $OB$, $OC$, $OD$, так как все эти отрезки будут равны между собой).

5. Радиус окружности, построенной на диагоналях прямоугольника:

   • В данной задаче точка $O$ (пересечение диагоналей) является центром окружности.
   • Длина радиуса окружности равна длине отрезка $OA$ — это расстояние от центра прямоугольника до одной из его вершин.
   • Из свойств диагоналей прямоугольника следует, что $OA = OB = OC = OD$. Поэтому окружность, центр которой в точке $O$, пройдет через все четыре вершины прямоугольника.

6. Замечание относительно построенной окружности:

   • Окружность, построенная с центром в точке $O$ и радиусом $OA$, будет описанной окружностью для прямоугольника $ABCD$. Это означает, что все вершины прямоугольника лежат на этой окружности.
   • Такое свойство возникает потому, что прямоугольник вписывается в окружность, если его диагонали пересекаются в одной точке и эта точка является центром окружности.

Теперь вы вооружены всей необходимой теоретической базой для выполнения задачи.