На отдельном листе бумаги начерти квадрат, длина стороны которого равна 15 см. Вырежи его и перегни дважды по линиям диагоналей. Разверни квадрат и разрежь его по линиям сгиба на 4 части, как показано на рисунке. Какими получились эти части: равными или неравными? Объясни.

Диагонали квадрата делят его на 4 равных треугольника.

Чтобы ответить на вопрос, равны ли полученные части квадрата, необходимо разобраться с основными понятиями геометрии и свойствами квадрата. Вот подробное теоретическое объяснение:

1. Квадрат и его свойства

   • Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые (90°).
   • Диагонали квадрата имеют одинаковую длину и пересекаются под прямым углом (90°).
   • Диагонали квадрата делят его на четыре равных треугольника.

2. Диагонали квадрата

   • Диагонали квадрата пересекают его, соединяя противоположные вершины.
   • Длина диагонали квадрата можно вычислить по формуле: $$ d = \sqrt{2} \cdot a, $$ где $ a $ — длина стороны квадрата, а $ d $ — длина диагонали.
   • В данном случае длина стороны квадрата равна 15 см. Соответственно, длина диагонали будет: $$ d = \sqrt{2} \cdot 15. $$

3. Разделение квадрата на четыре треугольника

   • Когда квадрат разделяется диагоналями, он распадается на четыре треугольника. Геометрически эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.
   • У каждого треугольника:
   • Катеты равны половине стороны квадрата ($ \frac{a}{2} $).
   • Гипотенуза равна длине диагонали ($ d $).

4. Равенство треугольников

   • Треугольники, полученные при разрезании квадрата вдоль диагоналей, равны по свойству симметрии квадрата. Их равенство можно доказать с помощью признаков равенства треугольников:
   • Все три стороны (катеты и гипотенуза) у каждого треугольника одинаковы.
   • Углы треугольников также равны.

5. Симметрия квадрата

   • Квадрат симметричен относительно своих диагоналей. Это означает, что разрезание квадрата по линиям сгиба не нарушает равенства частей. Каждая часть будет идентичной по форме и размеру.

6. Площадь треугольников

   • Площадь каждого треугольника можно найти, используя формулу площади: $$ S = \frac{1}{2} \cdot (\text{катет}_1) \cdot (\text{катет}_2). $$ У каждого треугольника катеты равны половине стороны квадрата ($ \frac{a}{2} $). Общая площадь квадрата равна: $$ S_{\text{квадрат}} = a^2. $$ Площадь каждого треугольника будет составлять четверть площади квадрата.

На основании этого анализа можно сделать вывод, что четыре полученных треугольника будут равными по форме, размеру и площади.