(Старинная задача.) У отца имеется 4 бочки, наполненных золотыми монетами полностью, 10 бочек, наполненных монетами наполовину, и 7 пустых бочек. Может ли он разделить их между тремя сыновьями так, чтобы они получили по одинаковому количеству бочек и по одинаковому количеству золотых монет?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть несколько теоретических аспектов, связанных с делением, равенством и подсчетом.

1. Условия равного деления

Когда нам нужно разделить объекты (в данном случае бочки и монеты) между несколькими людьми так, чтобы все получили одинаковое количество, нужно учитывать два ключевых момента:
− Каждый наследник должен получить одинаковое количество бочек.
− Каждый наследник должен получить одинаковое количество золотых монет.

2. Представление количеств и типов бочек

В задаче есть три типа бочек:
1. Полные бочки: каждая из них содержит полное количество монет. Обозначим это количество за $ N $ (где $ N $ — число монет в одной полной бочке).
2. Наполовину заполненные бочки: каждая из них содержит половину полного количества монет. Это можно записать как $ \frac{N}{2} $.
3. Пустые бочки: они не содержат монет, то есть отдают $ 0 $ монет.

Чтобы упростить работу с разными типами бочек, полезно выразить общее количество монет и бочек в числовых терминах.

3. Подсчет общего количества бочек

Число всех бочек равно:
$$ 4 + 10 + 7 = 21. $$
Это значит, что у отца есть 21 бочка, и их нужно поделить между тремя сыновьями так, чтобы каждый получил одинаковое количество. Следовательно, каждый сын должен получить:
$$ \frac{21}{3} = 7 \text{ бочек}. $$

4. Подсчет общего количества монет

Для подсчета общего числа монет:
− В 4 полных бочках содержится $ 4 \cdot N $ монет.
− В 10 наполовину заполненных бочках содержится $ 10 \cdot \frac{N}{2} $, что упрощается до $ 5 \cdot N $ монет.
− В 7 пустых бочках содержится $ 0 $ монет.

Общее количество монет равно:
$$ 4 \cdot N + 5 \cdot N + 0 = 9 \cdot N. $$
Таким образом, в бочках находится в общей сложности $ 9N $ монет. Эти монеты также нужно разделить поровну между тремя сыновьями. Следовательно, каждый сын должен получить:
$$ \frac{9N}{3} = 3N \text{ монет}. $$

5. Уравнение задачи

Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы каждый сын получил:
1. Ровно 7 бочек.
2. Ровно $ 3N $ монет.

Это можно выразить в виде системы условий:
− Сумма всех типов бочек, которые получит каждый сын, должна быть равна 7.
− Сумма количества монет из полных, наполовину заполненных и пустых бочек, которые получит каждый сын, должна быть равна $ 3N $.

6. Подход к решению

Чтобы проверить, возможно ли такое деление, нужно выполнить следующие шаги:
1. Рассмотреть комбинации бочек: определить, какие наборы из 7 бочек (с учетом полных, наполовину заполненных и пустых) могут быть распределены между тремя сыновьями.
2. Проверить монеты: для каждого такого набора убедиться, что суммарное количество монет в этих 7 бочках равно $ 3N $.
3. Убедиться в равенстве: проверить, что найденные комбинации обеспечивают равенство для всех трех сыновей (т.е. наборы бочек и монет для каждого идентичны).

7. Делимость и симметрия

Так как полные и наполовину заполненные бочки содержат разное количество монет, важно, чтобы их распределение было сбалансированным. Например:
− Если один сын получил больше полных бочек, то он должен получить меньше наполовину заполненных, и наоборот.
− Пустые бочки не влияют на количество монет, но их учет важен для соблюдения общего числа бочек.

8. Возможные затруднения

• Нужно убедиться, что решение существует и что деление может быть выполнено строго поровну.
• Если деление невозможно, важно понять, почему (например, это может быть связано с неделимостью числа монет или особенностями распределения бочек).