Девять чисел записаны в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. Складывая числа первой строки, Ваня получил сумму 818, числа второй строки дали в сумме 819, а числа третьей строки − 917. Проделав те же вычисления для столбцов, Ваня получил суммы 985, 722 и 848. Правильны ли его вычисления?

Для решения задачи на проверку правильности вычислений Вани, рассмотрим основные математические принципы и подходы, которые помогут тщательно проанализировать ситуацию.

1. Свойство суммы чисел в таблице: Если числа записаны в виде таблицы (матрицы) с фиксированным количеством строк и столбцов, сумма чисел по всем строкам должна быть равна сумме чисел по всем столбцам. Это связано с тем, что каждое число таблицы учитывается ровно один раз, независимо от того, считается ли оно в строках или в столбцах.

Например, если у нас есть таблица размером $3 \times 3$, то сумма всех чисел в этой таблице может быть вычислена двумя способами:
− Сложить суммы каждой строки.
− Сложить суммы каждого столбца.

В обоих случаях результат должен быть одинаковым, поскольку речь идет о сумме всех чисел таблицы.

1. Проверка правильности вычислений: Если известны суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце, можно сравнить общую сумму чисел, рассчитанную двумя способами:
   • Сумма чисел по строкам: $ \text{Сумма первой строки} + \text{Сумма второй строки} + \text{Сумма третьей строки} $.
   • Сумма чисел по столбцам: $ \text{Сумма первого столбца} + \text{Сумма второго столбца} + \text{Сумма третьего столбца} $.

Если эти два значения совпадают, то вычисления можно считать правильными. Если они различаются, то где−то допущена ошибка.

1. Анализ чисел по строкам и столбцам:
   Каждое число таблицы принадлежит одной строке и одному столбцу одновременно. Поэтому, при вычислении суммы строк и столбцов, важно следить за тем, чтобы ни одно число не было пропущено или учтено дважды.

2. Проверка пропорций и логики:
   Если суммы строк и столбцов совпадают, можно также проверить логичность полученных значений. Например, если таблица $3 \times 3$, а суммы строк сильно отличаются друг от друга (например, одна сумма существенно больше других), это может быть индикатором ошибки при вводе данных или вычислении.

3. Общий алгоритм проверки:

   • Найти общую сумму чисел в таблице двумя способами (через строки и через столбцы).
   • Сравнить эти два значения.
   • Если значения совпадают, ответить утвердительно на вопрос задачи. Если значения различаются, то вычисления неправильны.

Эти принципы и методы позволят уверенно подходить к решению подобных задач и проверять корректность работы с числами в таблицах.