В третьем классе учатся 25 учеников. Им было предложено заниматься в 2 кружках: по математике и по природоведению.
В каждый кружок записалось по 16 человек, причем 10 человек решили заниматься одновременно математикой и природоведением.
Получив результаты, ребята удивились: "Можно подумать, что у нас в классе не 25 учеников, а все 42".
Но один любитель математики сказал: "Вовсе нет! У нас есть несколько ребят, которые не хотят заниматься ни в одном из кружков. Я даже могу сказать, сколько их." Как он это узнал?

Чтобы понять, как любитель математики вычислил количество учеников, которые не записались ни в один кружок, нужно рассмотреть основные математические концепции, связанные с множествами и их пересечениями.

Множества и пересечения

В задаче говорится о двух кружках, которые можно представить как два множества: множество учеников, записавшихся на математику, и множество учеников, записавшихся на природоведение. Эти множества перекрываются, так как некоторые ученики записались одновременно в оба кружка.

Для решения задачи используются следующие понятия:
1. Сумма всех учеников, записавшихся в кружки: количество учеников, записавшихся в оба кружка (пересечение множеств), учитывается дважды, когда суммируются отдельные кружки. Поэтому нужно скорректировать результат, чтобы найти общее число уникальных учеников, которые занимаются хотя бы в одном кружке.

Формула:
$ \text{Общее число учеников в кружках} = (\text{Количество учеников в математическом кружке}) + (\text{Количество учеников в кружке природоведения}) - (\text{Количество учеников, записанных в оба кружка}) $.

1. Все ученики класса: известно, что в классе учатся 25 учеников. Это общее количество учеников, независимо от того, записались они в кружки или нет.

2. Ученики, не записанные ни в один кружок: чтобы найти количество таких учеников, нужно вычесть количество уникальных учеников, записанных хотя бы в один кружок, из общего числа учеников в классе.

Анализ данных задачи

• $ A $: количество учеников, записавшихся в кружок по математике = 16.
• $ B $: количество учеников, записавшихся в кружок по природоведению = 16.
• $ C $: количество учеников, записавшихся одновременно в оба кружка = 10.
• $ N $: общее число учеников в классе = 25.

Вывод формулы

Сначала вычисляем количество учеников, записавшихся хотя бы в один кружок:
$$ \text{Ученики в кружках} = A + B - C $$
Затем определяем количество учеников, которые не записались ни в один кружок:
$$ \text{Ученики вне кружков} = N - (\text{Ученики в кружках}) $$

Применение логики

• Если в кружок по математике и природоведению записалось больше учеников, чем общее число учеников в классе, это происходит из−за пересечения: некоторые ученики учтены дважды (в каждом кружке). При использовании формулы пересечение исключается, позволяя найти реальное количество учеников в кружках.

Эти рассуждения позволяют любителю математики вычислить количество учеников, которые не хотят заниматься ни в одном из кружков.