Пусть A − множество остатков, которые могут получиться при делении на 5, а B − множество остатков, возможных при делении на 7.
а) Задай множества A и B перечислением и запиши элементы с помощью фигурных скобок.
б) Построй диаграмму Эйлера−Венна множеств A и B. Какое из множеств является подмножеством другого?
в) Найди A ∩ B и A U B.

Для решения данной задачи нужно использовать понятия из теории множеств и свойства деления с остатком. Давайте рассмотрим теоретическую базу, которая потребуется для выполнения задания.

1. Остатки при делении на число

При делении натурального числа $ n $ на $ d $, результат можно представить в виде:
$$ n = dq + r, $$
где:
− $ d $ — делитель (в данном случае 5 или 7),
− $ q $ — частное (целое число),
− $ r $ — остаток (натуральное число или ноль).

Остаток $ r $ всегда меньше делителя $ d $. Это означает, что остатки при делении на $ d $ могут принимать значения от 0 до $ d-1 $.

Примеры:
− При делении на 5 все возможные остатки: $ 0, 1, 2, 3, 4 $.
− При делении на 7 все возможные остатки: $ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

2. Задание множества перечислением

Множество — это совокупность объектов, называемых элементами множества. Если элементы множества конечны, их можно перечислять через запятую в фигурных скобках. Например:
$$ A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}, $$
где $ A $ — множество, а $ a_1, a_2, \dots, a_n $ — его элементы.

Для задачи:
− Множество остатков при делении на 5, $ A $, можно задать как $ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $.
− Множество остатков при делении на 7, $ B $, можно задать как $ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $.

3. Диаграмма Эйлера−Венна

Диаграмма Эйлера−Венна представляет множества в виде кругов или других фигур, которые пересекаются или полностью входят друг в друга. Основные случаи:
− Если множества $ A $ и $ B $ не имеют общих элементов, то их круги не пересекаются.
− Если множества $ A $ и $ B $ имеют общие элементы, то их круги пересекаются, и пересечение обозначает общие элементы.
− Если одно множество полностью входит в другое (является его подмножеством), то круг меньшего множества будет находиться внутри круга большего множества.

Для задачи:
− Нужно определить, пересекаются ли множества $ A $ и $ B $, и если пересекаются, то какие элементы принадлежат обоим множествам.
− Также нужно определить, является ли одно множество подмножеством другого. Для этого проверяем, содержатся ли все элементы одного множества в другом.

4. Операции над множествами

Существует несколько основных операций над множествами, которые нужно использовать:

а) Пересечение множеств ($ A \cap B $):
Пересечение множеств $ A $ и $ B $ — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно.
$$ A \cap B = \{ x \, | \, x \in A \text{ и } x \in B \}. $$

б) Объединение множеств ($ A \cup B $):
Объединение множеств $ A $ и $ B $ — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.
$$ A \cup B = \{ x \, | \, x \in A \text{ или } x \in B \}. $$

в) Подмножество ($ A \subseteq B $):
Множество $ A $ называется подмножеством множества $ B $, если каждый элемент множества $ A $ также принадлежит множеству $ B $. Проверяем это путем сравнения всех элементов $ A $ с элементами $ B $.

5. Решение задачи

На основе приведенной теории:
− Задайте множества $ A $ и $ B $ перечислением их элементов.
− Нарисуйте диаграмму: круги для множества $ A $ и $ B $, выделите область пересечения, если она существует.
− Найдите пересечение ($ A \cap B $) и объединение ($ A \cup B $) множеств.
− Проверьте, является ли одно множество подмножеством другого, сравнив их элементы.

Таким образом, используя понятия множества, остатка при делении, диаграммы Эйлера−Венна и операций над множествами, можно выполнить все пункты задания.