Найди все способы размена 10 руб. монетами в 1 руб., 2 руб. и 5 руб.

Чтобы решить задачу о размене 10 рублей монетами номиналом 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей, важно понять несколько ключевых математических принципов и стратегий. В этой задаче используется понятие комбинаторики, а именно поиск всех возможных комбинаций сумм, которые равны заданному числу. Рассмотрим теоретические аспекты, которые помогут подойти к решению этой задачи.

1. Принцип разложения числа

Любое целое положительное число можно представить в виде суммы других чисел. В данном случае мы ищем все такие комбинации, где сумма чисел будет равна 10, а числами, которые мы можем использовать, являются 1, 2 и 5. Важно учитывать, что порядок чисел в сумме не имеет значения, то есть комбинации являются упорядоченными.

2. Условия задачи

• Сумма монет должна равняться ровно 10 рублям.
• Номиналы монет — только 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей.
• Количество монет каждого номинала должно быть целым и неотрицательным.

3. Метод перебора всех вариантов

Для того чтобы найти все способы размена, нужно перебрать все возможные сочетания монет так, чтобы выполнялись условия задачи. Это можно сделать методом систематического перебора.

Шаги метода:

1. Ввести переменные:

   • Пусть $ x_1 $ — количество монет номиналом 1 рубль.
   • Пусть $ x_2 $ — количество монет номиналом 2 рубля.
   • Пусть $ x_3 $ — количество монет номиналом 5 рублей.

2. Составить уравнение:
   Сумма всех монет должна быть равна 10 рублям:
   $$ x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 2 + x_3 \cdot 5 = 10 $$

3. Ограничения:

   • $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ — неотрицательные целые числа ($ x_1, x_2, x_3 \geq 0 $).
   • Каждое $ x_3 $ (количество монет номиналом 5 рублей) ограничено сверху: максимум может быть 2 монеты, так как $ 2 \cdot 5 = 10 $.
   • Для каждого фиксированного значения $ x_3 $, значения $ x_2 $ и $ x_1 $ должны быть подобраны так, чтобы оставшаяся сумма была равна $ 10 - x_3 \cdot 5 $.

4. Систематический перебор:
   Мы перебираем значения $ x_3 $ от 0 до 2. Для каждого значения $ x_3 $, вычисляем оставшуюся сумму $ S = 10 - x_3 \cdot 5 $. Далее для каждого значения $ x_3 $ решаем уравнение:
   $$ x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 2 = S $$
   где $ S $ — оставшаяся сумма. Здесь важно перебрать все возможные значения $ x_2 $, чтобы $ x_1 $ оставалось целым и неотрицательным.

4. Рассмотрение частных случаев

Каждый раз, когда фиксируется значение для $ x_3 $, задача сводится к размену меньшей суммы (например, 10, 5 или 0 рублей) монетами номиналом 1 рубль и 2 рубля. Для этого можно снова применять перебор.

5. Формула подсчета комбинаций

Задачу можно полностью решить вручную методом перебора, но также она может быть автоматизирована с использованием программирования или таблицы. Формально, количество решений можно найти путем анализа всех возможных пар $ (x_1, x_2) $ для фиксированного $ x_3 $.

6. Учет уникальности комбинаций

Важно понимать, что в этой задаче порядок монет не учитывается. Например, если у нас есть 10 монет по 1 рублю, то это считается одним способом размена, независимо от того, как эти монеты физически будут расположены.

7. Итог

Задача требует перебора всех возможных сочетаний количества монет номиналом 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей, которые дают сумму 10 рублей. Поиск всех таких сочетаний основан на решении уравнения с целыми неотрицательными числами, при этом важно учитывать ограничения и систематически проверять каждую комбинацию.