Сколькими способами можно раскрасить флаг из 5 полос так, чтобы:
а) 3 полосы были красными, а 2 − синими;
б) 1 полоса была красной, 1 полоса − желтой, а 3 зелеными?
Нарисуй их.

Для решения данной задачи нужно использовать теоретическую базу по комбинаторике. Основной инструмент для решения подобных задач — формула для подсчета числа сочетаний. Давайте подробно разберем теоретическую часть, которая поможет понять процесс.

Теоретическая база:

1. Что такое сочетание?

Сочетание — это способ выбрать несколько элементов из множества элементов, не учитывая порядок их расположения. Если порядок важен, то это называется размещением или перестановкой. В задачах, где нас интересует только набор элементов, а не порядок их расположения, используется формула сочетаний.

2. Формула для вычисления числа сочетаний:

Формула для вычисления числа сочетаний из $ n $ элементов по $ k $ выглядит следующим образом:

$$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Где:
− $ n $ — количество элементов всего,
− $ k $ — количество элементов, которые нужно выбрать,
− $ n! $ — факториал числа $ n $, а $ k! $ — факториал числа $ k $. Факториал числа $ n $ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $ n $: $ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1 $.

3. Применение формулы сочетаний:

Чтобы найти количество способов выбора определенного числа элементов из множества, мы применяем формулу сочетаний. Например, если нужно выбрать $ k $ элементов из $ n $, то число возможных комбинаций рассчитывается по формуле выше.

4. Решение задач с раскраской полос:

Теперь применим теоретическую часть к раскраске флага. У нас есть флаг из 5 полос, которые можно раскрасить разными цветами. При раскраске порядок полос не имеет значения, поэтому задача сводится к подсчету числа сочетаний.

а) Раскрасить флаг так, чтобы 3 полосы были красными, а 2 — синими.

Для решения этой задачи нужно выбрать 3 полосы из 5, которые будут красными. После этого оставшиеся 2 полосы автоматически становятся синими. Количество способов выбрать 3 полосы из 5 рассчитывается по формуле сочетаний:

$$ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 $$

Таким образом, существует $ 10 $ способов выбрать полосы для красного цвета.

б) Раскрасить флаг так, чтобы 1 полоса была красной, 1 — желтой, а 3 — зелеными.

Для этой задачи нужно:
1. Выбрать 1 полосу из 5, которая будет красной.
2. Выбрать 1 полосу из оставшихся 4, которая будет желтой.
3. Оставшиеся 3 полосы автоматически станут зелеными.

Число способов выбрать 1 красную полосу из 5 рассчитывается так:

$$ C(5, 1) = \frac{5!}{1! \cdot (5-1)!} = \frac{5}{1} = 5 $$

После этого мы выбираем 1 желтую полосу из оставшихся 4:

$$ C(4, 1) = \frac{4!}{1! \cdot (4-1)!} = \frac{4}{1} = 4 $$

Поскольку зеленые полосы остаются автоматически, общее число способов раскраски флага можно найти как произведение этих двух сочетаний:

$$ 5 \cdot 4 = 20 $$

Таким образом, существует $ 20 $ способов раскрасить флаг по данному условию.

5. Визуализация:

Для визуализации можно нарисовать варианты раскраски флага, выбирая полосы для каждого цвета. Это будет полезным упражнением для закрепления теории.

Итог:

Для решения задачи необходимо использовать формулу сочетаний и понимать, как выбирать элементы из множества. Обратите внимание, что порядок полос не играет роли, поэтому задача решается с помощью теоретического аппарата комбинаторики.