В классе 32 учащихся. Из них 18 человек изучают английский язык, 16 человек − французский язык, причем все учащиеся изучают хотя бы один из этих двух иностранных языков. Сколько учащихся изучают одновременно английский и французский языки? Сколько изучают только английский язык? Только французский язык?

Для решения этой задачи мы будем использовать понятия множества, пересечения множеств и их элементов.

1. Определение множества: Множество — это совокупность объектов, именуемых элементами множества. В данном случае мы рассматриваем два множества: учащиеся, изучающие английский язык (А), и учащиеся, изучающие французский язык (Ф).

2. Количество элементов в множестве: Нам известно, что в классе всего 32 учащихся, то есть общее множество включает в себя 32 элемента. Также известно, что 18 учащихся изучают английский язык, а 16 — французский.

3. Пересечение множеств: Пересечение двух множеств — это множество, содержащее элементы, принадлежащие одновременно обоим множествам. В данном случае пересечение множеств А и Ф — это учащиеся, которые изучают одновременно английский и французский языки. Обозначим количество таких учащихся как $x$.

4. Только английский язык: Учащиеся, которые изучают только английский язык, принадлежат множеству А, но не входят в множество Ф. Их количество можно найти, если из общего числа учащихся, изучающих английский язык, вычесть тех, кто изучает оба языка ($x$).

5. Только французский язык: Учащиеся, которые изучают только французский язык, принадлежат множеству Ф, но не входят в множество А. Их количество можно найти аналогично, вычитая из общего числа учащихся, изучающих французский язык, тех, кто изучает оба языка ($x$).

6. Связь между элементами множеств:

   • Учащиеся, изучающие только английский язык, плюс те, кто изучает только французский язык, плюс те, кто изучает оба языка, должны составлять общее количество учащихся в классе, то есть 32.
   • Формула для нахождения общего числа элементов в объединении двух множеств: $$ |A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F| $$ где:
   • $ |A \cup F| $ — количество учащихся, изучающих хотя бы один язык (в данном случае это все 32 учащихся),
   • $ |A| $ — количество учащихся, изучающих английский язык (18),
   • $ |F| $ — количество учащихся, изучающих французский язык (16),
   • $ |A \cap F| $ — количество учащихся, изучающих оба языка ($x$).

7. Алгоритм решения задачи:

   • Используем формулу объединения множеств, чтобы найти $x$, количество учащихся, изучающих оба языка.
   • Вычисляем количество учащихся, изучающих только английский язык, как $ |A| - x $.
   • Вычисляем количество учащихся, изучающих только французский язык, как $ |F| - x $.

Эти теоретические шаги дают основу для дальнейшего вычисления.