а) Артем задумал число, умножил его на 6, разделил на 40, прибавил 65 и вычел 18. В результате у него получилось 50. Какое число задумал Артем?
б) Валя задумала число, разделила его на 7, умножила на 1000, вычла 654 и прибавила 108. В результате у нее получилось 8454. Какое число задумала Валя?

Для решения задач подобного типа нужно использовать обратные операции и пошаговый подход к восстановлению числа, которое было задумано. Разберем теоретическую часть.

Основной принцип решения:

Когда мы знаем результат, но хотим узнать исходное число, от которого были произведены математические действия, следует использовать следующий метод:
1. Записываем выражение, которое соответствует действиям из задачи.
2. Проводим обратные операции в обратном порядке. Например:
− Если из числа вычитали, то нужно прибавить.
− Если к числу прибавляли, то нужно вычесть.
− Если число умножали, то нужно разделить.
− Если число делили, то нужно умножить.

Важные шаги:

1. Понимание порядка действий: В задачах подобных этой порядок операций играет важную роль. Применяются правила математики:

   • Сначала выполняются операции умножения и деления, затем сложения и вычитания.
   • Если есть скобки, действия внутри скобок выполняются в первую очередь.

2. Обратные операции: Чтобы найти начальное число, нужно восстанавливать его, начиная с результата, применяя обратные действия в обратном порядке.

   • Если мы знаем конечный результат, то идем шаг за шагом назад, начиная с последнего действия, описанного в задаче.

3. Запись уравнения: Можно записать уравнение, в котором неизвестное число обозначается переменной. Решение уравнения также ведет к восстановлению задуманных чисел.

Теоретический пример подхода к задаче:

Рассмотрим гипотетическое число $ x $, над которым выполняются действия. Например:
− Число умножили на $ a $ → результат $ x \cdot a $.
− Затем этот результат разделили на $ b $ → $ \frac{x \cdot a}{b} $.
− После чего прибавили $ c $ → $ \frac{x \cdot a}{b} + c $.
− И вычли $ d $ → $ \frac{x \cdot a}{b} + c - d = \text{результат} $.

Для нахождения $ x $ нужно восстановить все операции:
1. Начинаем с результата $ (\text{результат}) $.
2. Прибавляем $ d $, чтобы отменить вычитание.
3. Вычитаем $ c $, чтобы отменить прибавление.
4. Умножаем на $ b $, чтобы отменить деление.
5. Делим на $ a $, чтобы отменить умножение.

Особенности работы со второй задачей:

Если в задаче присутствует деление на число, а затем умножение на другое число, важно учитывать, что порядок операций строго следует правилам математики. Деление на одно число первым делом уменьшает задуманное число, а последующее умножение увеличивает результат. Будьте внимательны, чтобы не перепутать порядок действий.

Уравнения и переменные:

В задаче можно использовать переменные для записи всех действий. Например, если Артем задумал число $ x $, то:
− Записываем уравнение всех действий:
$ \left( \frac{x \cdot 6}{40} + 65 \right) - 18 = 50 $.
− Преобразуем его для нахождения $ x $.

То же самое относится ко второй задаче, где Валя задумала число $ y $:
− Записываем уравнение:
$ \left( \frac{y}{7} \cdot 1000 - 654 \right) + 108 = 8454 $.
− Постепенно упрощаем уравнение и находим $ y $.

Алгоритм решения:

1. Записываем результат.
2. Последовательно выполняем обратные действия, начиная с конца.
3. Убедившись в правильности порядка, находим начальное число.

С помощью такого подхода можно решать задачи на восстановление числа из результата.